第 9 节 曲线与方程(对应学生用书第 135 页) (对应学生用书第 135 页) 1 ．“曲线的方程”与“方程的曲线”一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C( 看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹 )上的点与一个二元方程 f(x ， y) ＝ 0 的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．质疑探究：若曲线与方程的对应关系中只满足 (2) 条会怎样？提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整条曲线的方程．2 ．求曲线方程的方法(1) 基本步骤：① 建立适当的坐标系，用有序实数对 (x ， y) 表示曲线上任意一点 M 的坐标；② 写出适合条件 p 的点 M 的集合 P ＝ {M|p(M)} ；③ 用坐标表示条件 p(M) ，列出方程 f(x ， y) ＝ 0 ；④ 化方程 f(x ， y) ＝ 0 为最简形式；⑤ 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．(2) 求曲线轨迹方程的常用方法：① 直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式 ( 两点间距离公式、点到直线距离公式等 ) 进行整理、化简．② 定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．③ 代入法：也叫相关点法，其特点是，动点 M(x ， y) 的坐标取决于已知曲线 C上的点 (x′ ， y′) 的坐标，可先用 x ， y 表示 x′ 、 y′ ，再代入曲线 C 的方程，即得点 M 的轨迹方程．④ 参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标 x 、 y ，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程．选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数．因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有角度、直线的斜率、点的横纵坐标、线段长度等． (1)“ 求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的．前者只需求出轨迹的方程，标出变量 x ， y 的范围；后者除求出方程外，还应指出方程的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据．(2) 建立曲线的方程要注意审题，弄清定点、定线，动点、动线，注意选好坐标系．一般选定点或定直线的交点为原点，选择定直线或过定点的直线为坐标轴．(3) 圆锥曲线的定义、标准方程、性质及解析几何中所涉及的基...
