高中数 32 均值不等式课件 新人教B版必修5 课件VIP免费

3.2 均值不等式 如果 a ， bR∈，那么 a2+b2≥2ab（当且仅当 a=b“时取 =” ）证明：222)(2baabba0)(0)(22babababa时，当时，当abba2221 ．指出定理适用范围： Rba,2 ．强调取“ =” 的条件： ba 定理： 如果 a, bR∈+ ，那么 abba2（当且仅当 a=b时，式中等号成立）证明： 22()()2aba b ∴abba2 即： abba2当且仅当 a=b 时abba2均值定理：注意： 1 ．适用的范围： a, b 为非负数 . 2 ．语言表述：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数。称2ab 为a ， b的算术平均数，3. 我们把不等式 (a≥0,b≥0)2abab称为基本不等式称 ab的几何平均数。为a ， b2ab把看做两个正数 a ， b的等差中项，ab看做正数 a ， b 的等比中项，那么上面不等式可以叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。 还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等式呢 ?几何直观解释：令正数 a ， b 为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为 和的两条线段，然后比较这两条线段的长。2abab具体作图如下：（ 1 ）作线段 AB=a+b ，使AD=a ， DB=b,（ 2 ）以 AB 为直径作半圆 O ；（ 3 ）过 D 点作 CD⊥AB 于 D ，交半圆于点 C（ 4 ）连接 AC ， BC ， CA ，则2abOCCDababa+b2ba ODCBA当 a≠b 时， OC>CD ，即2abab当 a=b 时， OC=CD ，即2abab例 1 ．已知 ab>0 ，求证： ，并推导出式中等号成立的条件。2baab≥证明：因为 ab>0 ，所以 ，根据均值不等式得0,0baab22bab aaba b ≥即2baab≥当且仅当 时，即 a2=b2 时式中等号成立，baab因为 ab>0 ，即 a ， b 同号，所以式中等号成立的条件是 a=b.例 2 ．（ 1 ）一个矩形的面积为 100m2 ，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（ 2 ）已知矩形的周长是 36m ，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？分析：在（ 1 ）中，矩形的长与宽的乘积是一个常数，求长与宽的和的 2 倍的最小值；在（ 2 ）中，矩形的长与宽的和的 2 倍是一个常数，求长与宽的乘积的最大值。解：（ 1 ）设矩形的长、宽分别为 x(m) ，y(m) ，依题意有 xy=100(m2) ，因为 x>0 ， y>0 ，所以，2xyxy≥因此，即 2(x+y)≥40 。 ...