《垂径定理》课件1VIP专享VIP免费

垂径定理动脑筋 在下图的⊙ O 中， AB 是任一条弦， CD是⊙ O 的直径，且 CD⊥AB ， 垂足为 E. 试问 ： AE 与 BE ， 与，与 分别相等吗？AC︵BC︵BD︵AD︵ 因为圆是轴对称图形，将⊙ O 沿直径 CD 对折，如下图，我发现 AE 与 BE 重合， ， 分别与 重合，即 AE= BE ，= ，=AC︵BC︵BD︵AD︵AC︵BC︵AD︵.BD︵从而∠ AOC =∠BOC.下面我们来证明这个结论 . 在下图中， 连接 OA ， OB. ∵ OA=OB ， ∴ △OAB 是等腰三角形 . ∵ OE⊥AB ， ∴ AE = BE ， ∠ AOD =∠BOD.AC︵，BC︵AD︵.BD︵==∴结论 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 . 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 .结论由此得到垂径定理：举例如图所示，弦 AB=8cm ， CD 是⊙ O 的直径， CD⊥AB ，垂足为 E ， DE=2cm ，求⊙ O的直径 CD 的长 .例 1 解 连接 OA.设 OA=rcm ，则 OE=r-2(cm). ∵ CD⊥AB ，由垂径定理得2ABAE==4(cm).在 Rt△AEO 中，由勾股定理得+ .222OA =OEAE 解得 r=5. ∴ CD = 2r = 10 (cm).即.22( -2)4r = r+举例证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等 . 已知： 如图，在⊙ O 中，弦 AB 与弦 CD 平行 . 求证：=例 2 AC︵.BD︵证明 作直径 EF⊥AB ，.AEBE︵︵ ∴ 又 AB∥CD ， EF⊥AB ， ∴ EF⊥CD..CEDE︵︵ ∴，AE CEBE DE︵︵︵︵因此.ACBD︵︵即 1.1400 年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4m ，拱高（即弧的中点到弦的距离）为 7.2m ，求桥拱所在圆的半径（结果精确到 0.1m ） .练一练解：过拱桥所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 于点 C ，交 AB 于点 D ，则 CD=7.2m ，AB由垂径定理，得：AD ＝ AB ＝ ×37.4 ＝ 18.7 （ m ）设⊙ O 的半径为 Rm ，在 Rt△AOD 中：AO ＝ R ， OD ＝ R － 7.2 ， AD ＝ 18.7由勾股定理，得：AO2 ＝ OD2 ＋ AD2 ，∴R2 ＝ (R － 7.2)2 ＋ 18.72 解得： R≈27.9故桥拱所在圆的半径约为 27.9m.1212 2. 如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？提示 : 这两条弦在圆中位置有两种情况。(1) 两条弦在圆心的同侧(2) 两条弦在圆心的两侧FECOD例题讲解 如图，一 条公路的转弯处是一段弧（即图中 ，点 O 是 所在圆的圆心） . 其中CD ＝ 600m ， E 为 上一点，且 OE⊥CD ，垂足为 F ， EF ＝ 90m. 求这段弯路的半径 .CDCDCDFECOD则： OF ＝ （ R － 90 ） m ，∵OE⊥CD ，∴CF ＝ CD ＝ ×600 ＝ 300 （ m ），在 Rt△OCF 中，由勾股定理得：OC2 ＝ CF2 ＋ OF2 ，∴R2 ＝ 3002 ＋（ R － 90 ） 2解得： R ＝ 545 ，∴ 这段弯路的半径为 545m.1212解：连接 OC ，设弯路的半径为Rm ，结 束