近世代数期末考试试卷及答案完整VIP专享VIP免费

一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设 G 有 6 个元素的循环群，a 是生成元，则 G 的子集（ ）是子群。A、 B、 C、 D、2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群 A、G 为整数集合，*为加法 B、G 为偶数集合，*为加法 C、G 为有理数集合，*为加法 D、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、设、 、 是三个置换，其中=（12）（23）（13）， =（24）（14）， =（1324），则=（ ）A、 B、 C、 D、5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（ ）。A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、 是交换群二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。3、已知群中的元素 的阶等于 50，则的阶等于------。4、a 的阶若是一个有限整数 n，那么 G 与-------同构。5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A∩B=-----。6、若映射 既是单射又是满射，则称 为-----------------。7 、叫 做 域的 一 个 代 数 元 ， 如 果 存 在的 -----使 得。8、 是代数系统的元素，对任何均成立，则称 为---------。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、---------。10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则 P 是----------。三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A={1,2,3}G 是 A 上的置换群，H 是 G 的子群，H={I,(1 2)}，写出 H 的所有陪集。2、设 E 是所有偶数做成的集合，“ ”是数的乘法，则“ ”是 E 中的运算，（E， ）是一个代数系统，问（E， ）是不是群，为什么？3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和 p, q。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、若是群，则对于任意的 a、b∈G，必有惟一的 x∈G 使得 a*x＝b。2、设 m 是一个正整数，利用 m 定义整数集 Z 上的二元关系：a〜b 当且仅当 m︱a–b。...