19.2.3 正方形问题：回忆矩形和菱形的定义，你能说出它们的异同吗？正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 .正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，又是特殊的菱形平行四边形 + 一个角是直角 = 矩形；平行四边形 + 一组邻边相等 = 菱形正方形的性质：由于正方形既是矩形又是菱形，所以正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质 .边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 .注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是 45° ；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是 45° ；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质19.2.3 正方形【例 1 】已知：如图 1 ，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 O.（ 1 ） E 是 AC 上的一点，过点 A 作 AG⊥BE 于 G ， AG 、 BD 交于点 F. 求证： OE=OF.（ 2 ）若点 E 在 AC 上的延长线上（如图 2 ），过点 A 做 AG⊥BE交 EB 的延长线于 G ， AG 的延长线交 BD 于点 F ，其它条件不变，OE=OF 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由 .图 1ABCD19-106图OFGBDACE图 219.2.3 正方形【解析】（ 1 ）要证明 OE=OF ，只需证明△ BOE≌△AOF ，要证△ BOE≌△AOF ，利用正方形性质即可；第（ 2 ）问和第（ 1 ）问图形虽然有所变化，但实质一样，也可通过证△ BOE≌△AOF ，从而得到 OE=OF.【例 2 】已知：如图 3 ，四边形 ABCD是正方形，分别过点 A 、 C 两点l1∥l2 ，作 BM⊥l1 于 M ， DN⊥l1 于N ，直线 MB 、 DN 分别交 l2 于 Q 、 P点求证：四边形 PQMN 是正方形 . 图 319.2.3 正方形【答案】证明： PN⊥l1， QM⊥l1，∴PN∥QM ，∠ PNM=90° PQ∥NM ，∴四边形 PQMN 是矩形 四边形 ABCD 是正方形∴∠BAD=∠ADC=90° ， AB=AD=DC （正方形的四条边都相等，四个角都是直角）∴∠1+∠2=90° ，又∠ 3+∠2=90° ，∴∠1=∠3∴△ABM≌△DAN∴AM=DN同理 AN=DP∴AM+AN=DN+DP 即 MN=PN.∴ 四边形 PQMN 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）19.2.3 正方形...
