19 ． 3 ． 3 正方形正方形 矩形实验与观察一：折叠矩形纸片正方形菱形实验与观察二：转动菱形模型 正方形的定义由正方形的定义可知， 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是 有一个角为直角的菱形．如图 (1) ． 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系 !菱形矩形平行四边形正形方 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形．正方形的性质 = 正方形性质： 边： 对边平行 四边相等 角 ：四个角都是直角对角线：相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角． 练习 1 ．已知：正方形 ABCD 对角线 AC 、 BD 相 交于点 O ，且 AB ＝ acm ，如图 (2) ． 求： AC 的长及正方形的面积 S ． 练习 2 ．已知：在正方形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，且 AC ＝ 6 cm ，如图求：正方形的面积 S ． 2例 1 ．已知：如图 (4) 在正方形 ABCD 中， F 为 CD 延长线 上一点， CEAF⊥于 E ，交AD 于 M ， 求证：∠ MFD ＝ 45°分析：欲证∠ MFD ＝ 45° ，由于△MDF 是直角三角形，只须证△MDF 是等腰三角形，即只要证 _____=_____要证 MD ＝ FD ，大家只须证得哪两个三角形全等？ 试一试：看能不能完成证明？？？△CMDADF≌△例 2 ．已知：如图 (4) 在正方形 ABCD 中，F 为 CD 延长线上一点， CEAF⊥于 E ，交 AD 于 M ，求证：∠ MFD ＝ 45°证明： ∵ CEAF⊥ ADC∴∠＝∠ AEM ＝ 90° 又∵∠ CMD ＝∠ AME 1∴∠ ＝∠ 2 又∵ CD ＝ AD ，∠ ADF ＝∠ MDC ∴ RtCDMRtADF△≌△ (AAS) DM=DF∴ 下面的证明请大家完成练习 3 ．如图 (5) ，在 AB 上取一点 C ，以 AC 、 BC 为正方形的一边在同一侧作正方形 AEDC 和 BCFG 连结 AF 、BD 延长 BD 交 AF 于 H ．求证： (1) ACFDCB△≌△ (2) BHAF⊥ 证明： 例 3 ．如图 (6) ，△ ABC 的外面作正方形 ABDE 和 ACFG ，连结 BG 、 CE ，交点为 N ．求证：∠ CEA ＝∠ ABG 分析：欲证∠ CEA ＝∠ ABG ，大家想一想证明两个角相等的方法，你有办法了吗？？？通过自己的努力，看能不能解决问题？证明：∵四边形 ABDE 和四边形 ACFG 是正方形． ∴ AE ＝ AB AG ＝ AC ∠ 1 ＝∠ 2 ＝ 90° 又∵∠ EAC ＝∠ 1 ＋∠ BAC ＝ 90° ＋∠ BAC ∠ BAG ＝∠ 2 ＋∠ BAC ＝ 90° ＋∠BAC ∴∠ EAC ＝∠ BAG ∴△ AECABG≌△ (SAS) ∴∠ CEA ＝∠ ABG 你觉得什么样的四边形是正方形呢？
