3.7 函数单调性的概念一，我们在函数的基本性质中曾经讨论过函数的单调性问题，在此我们再次回顾一下函数单调的定义。定义 设函数 f(x) 在区间（ a ， b ）上有定义，如果对于区间（ a ， b ）内的任意两点 x1 ， x2 ，满足（ 1 ）当 x1 < x2 时，恒有 f(x1) < f(x2), 则称函数 f(x) 在开区间（ a ， b ）内单调增； （ 2 ）当 x1 < x2 时，恒有 f(x1) > f(x2), 则称函数 f(x) 在开区间（ a ， b ）内单调减；1. 一般情况下，单调增函数的图形是一条沿 x 轴正向逐渐上升的曲线。单调减函数的图形是一条沿 x 轴正向逐渐下降的曲线。2. 如果函数在其定义域内的某些子区间上是单调增的，而在另一些子区间上是单调减的，则称函数为分段单调函数。例 .求 y=f(x)=X2-4X+3 的增区间和减区间？方法一。此函数为二次函数，画出其图象， 找出对称轴， x=2, 可知，当 x>2 时，为增函数；当 x<2 时为减函数。所以其增区间为 (2, + ),其减区间为 (- ， 2)方法二，考虑到 y=f(x)=X2-4X+3 曲线的切线的斜率就是函数的导数，由图象可以看到： 在 (2, + ) 区间内，切线的斜率为正，即 f (x) 〉 0 ， y=f(x)为增函数；在 (- ，2) 区间内，切线的斜率为负，即 f (x)〈 0 ， y=f(x) 为增函数。设函数 y=f(x) 在某个区间可导， 如果 f (x) 〉 0 ，则 f(x) 为增函数；如果 f (x) 〈 0 ，则 f(x) 为增函数，如果在某个区间内恒有 f (x) =0 ， f (x) 则为常数例 1 求 f(x)=X2-2X+4的增区间和减区间？解： f (x)=2x-2 令 2x-2 >0, 解的 x>1 ，因此，当 x （ 1 ,+ ）时 ，是增函数再令 2x-2 <0, 解的 x<1 ，因此，当 x（ - ， 1 ）时 ，是函减数如图例 2 确定函数 f(x)=2x3-9x2+12x-3 的单调区间。解：该函数的定义域为（ - ，），由于f (x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)当 x （ - ， 1) 时，有 f (x) > 0 ，所以，函数 f(x) 在这个区间内为单调增加。当 x(1 ， 2) 时，有 f (x) < 0 ，所以，函数 f(x) 在该区间内为单调减少。当 x （ 2 ，）时，有 f (x) 0 ，所以，函数 f(x) 在这个区间内为单调增加。例 3 证明方程 sin x = x 只有一个实根。证明：令 f(x)= sin x -x ，则 f (x) = cos x -1 0, 且仅在点 x =2n时，有 f (x)=0 。从而，当 x （ - ， ）时，函数 f(x) 为严格单调减少。又由于在 x - 时 , f(x) +; 而在 x+ 时 , f(x) - 。因此，函数 f(x) 有且仅有一个零点。即证明了方程 sin x = x 只有一个实根。它就是 x=0 。
