1 / 5 第一章习题 1 证明 e恒等式jtksktjsistijk ee[ 证明 ] jtksktjsktjsjtksjtksktjsjtksktjsitjsjtiskiitksktisjijtksktjsiiktkskijtjsjiitisiiistijk ee33习题 2 证明若jiijjiijbbaa;，则0ijij ba[ 证明 ] jiijjiijbbaa;jijiijijbaba，0pqpqijijjijiijijbabababa又因为所有的指标都是哑指标，ijijpqpqbaba，所以02aijbij，即0ijij ba习题 3 已知某一点的应力分量xx ，yy ，zz，xy 不为零，而0yzxz，试求过该点和z 轴，与x 轴夹角为的面上的正应力和剪应力。[解] 如图 1.1，过该点和z 轴，与 x 轴夹角为的面的法线，其与x 轴， y 轴和 z 轴的方向余弦分别为cosα ，sinα ，0，则由斜面应力公式的分量表达式，ijij)(，可求得该面上的应力为sincos11)(xyxxjjs i nc o s22)(yyyxjj033jjv)(由斜面正应力表达式jiijn，可求得正应力为22sinsincos2cosyyxyxxn？？剪应力为2cos2sin)(2122)()(xyxxyynnnσσσn习题4 如已知物体的表面由0),,(zyxf确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷zyxp,,。试写出其边界条件。[ 解]物体表面外表面法线的方向余弦为2 / 5 222222222,cos,cos,coszyxzzyxyzyxxffffznnffffynmffffxnl带入应力边界条件，3,2,1,,jinTjiji，得000pffffpffffpfzzzyyyxzxyzzyyyyxxxzzxyyxxx习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为xx ，yy ，zz ，xy ，xz ，yz ，试求该点以柱坐标表示的应力分量。[解] 如图 1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示：x y z r cosθsinθ0 θ-sinθcosθ0 z 0 0 1 注意由应力分量转换公式''''jnimijnm，求得cossin2sincos22xyyyxxrrcossin2cossin22xyyyxxzzzzrxyyyxxr)sin(coscossincossin22zzxyxzsincoscossinzxyzzr利用三角公式可将上面的式子改写为2sin2cos22xyyyxxyyxxrr2sin2cos22xyyyxxyyxxzzzz2cos2sin2xyyyxxr3 / 5 zzxyxzsincoscossinzxyzzr习题 6 一点的应力状态由应力张量cbcabaij给定， 式中， a ，b ，c 为常数，是某应力值，求常数 a ， b ， c ，以使八面体面)eee(n32131上的应力张量为零[ 解] 由斜面应力公式的分量表达式，ijij)(，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组：031031031)(,)(,)(cbcaba解得21cba习题 7 证明（ 1）应力的三个主方向互相垂直；（ 2）三个主应力1 ，2 ，3 必为实根[ 证明 ]（1）设任意两个不同的主应力为k 、l ，对应的主方向为kn 、ln 。根据...
