§4 数学归纳法数学归纳法的定义和证明步骤【思考】数学归纳法可以证明哪些数学命题？提示：数学归纳法可以证明某些与正整数 n 有关的数学命题 .【素养小测】1. 思维辨析 ( 对的打“√”，错的打“ ×”)(1) 用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n=1 时结论成立 . ( )(2) 不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n=k 到 n=k+1 时，项数都增加了一项 .( )(3) 用数学归纳法证明等式： 1+2+3+…+n2= (n∈N*) 时，从 n=k 到 n=k+1 左边应添加的项为 (k+1)2.( )(4) 用数学归纳法证明等式“ 1+2+22+…+2n+2=2n+3-1” ，验证 n=1 时，左边式子应为 1+2+22+23.( )42nn2＋提示： (1)×. 第一步验证任意正整数 n=n0 ，不一定从1 开始 .(2)×. 项数不一定增加一项 . 例如 an=1+2+…+n+…+2n.(3)×. 从 n=k 到 n=k+1 左边应添加的项为 [1+2+…+(k+1)2]-[1+2+…+k2]=(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.(4)√. 代入 n=1 验证即可 .2. 在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n-3)条时，第一步检验 n 等于( )A.1 B.2 C.3 D.0【解析】选 C. 边数最小的凸多边形是三角形 .123. 用数学归纳法证明 1+a+a2+…+an+1= (a≠1 ，n∈N+) ，在验证 n=1 时，等式左边是( )A.1 B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3n 21 a1 a【解析】选 C. 根据数学归纳法的步骤可知，当 n=1 时，等式的左边应为 1+a+a2.类型一 用数学归纳法证明等式【典例】 1. 用数学归纳法证明 (n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N+) ，“从 k 到 k+1” 左端增乘的代数式为________. (2) 用数学归纳法证明当 n∈N+ 时 ,111111111.2342n12nn1n22n－ ＋ － ＋ ＋－＝＋＋ ＋【思维 · 引】 1. 观察可知等式左端是从 n+1 开始的连续的 n 个整数的积 .2. 观察求证的等式，其左端为正负号间隔出现的 2n 个分式的和，并且分母是连续的正整数 .【解析】 1. 观察可知等式的左端是 n 个和式的积，当n=k 时为 (k+1)·(k+2)·…·(k+k) ，那么当 n=k+1 时，等式的左端应为 [(k+1)+1]·[(k+1)+2]·…·[(k+1)+(k+1)] ，和 (k+1)·(k+2)·…·(k+k) 比较会发现，左端增乘的代数式为 k1k1k1k2 2k1 .k1［］［］答案： 2(2k+1)(2)① 当 n=1 时 , 左边 = 右边 = 左边 = 右边 , 等式成立 .② 假设当 ...
