第二十四章 圆专题 40 切线的综合应用武汉专版 · 九年级上册1 ．在一个工件上有一梯形块 ABCD ，其中 AD∥BC ，∠ BCD ＝ 90° ，面积为 21 cm2 ，周长为 20 cm ，若工人师傅要在其上加工一个以 CD 为直径的半圆槽，且圆槽刚好和 AB 边相切 ( 如图所示 ) ，求此圆的半径．【解析】∵AD，AB，BC 分别切⊙O 于点 D，E，C，∴AD＝AE，BE＝BC，∴AD＋BC＝AB.设此圆的半径长为 x cm，AB＝y cm，则12·y·2x＝21，2y＋2x＝20，解得 x1＝3，x2＝7.当 x＝7 时，y＝3，AB＜CD，显然不合题意，因此 x＝3，即此圆的半径长为 3 cm.2 ．如图， AB 是⊙ O 的直径， D 是圆上一点， ＝ ，连接 AC ，过点 D 作 AC 的平行线 MN.(1) 证明： MN 是⊙ O 的切线；(2) 已知 AB ＝ 10 ， AD ＝ 6 ，求弦 BC 的长．DC︵AD︵【解析】(1)连接 OD，交 AC 于点 E，∵AD︵＝DC︵，∴OD⊥AC.又∵AC∥MN，∴OD⊥MN，∴MN 是⊙O 的切线．(2)设 OE＝x.∵AB＝10，∴OA＝5，ED＝5－x.又∵AD＝6，在 Rt△OAE 和 Rt△DAE 中，AE2＝OA2－OE2＝AD2－DE2，即 52－x2＝62－(5－x)2，解得 x＝1.4.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，则 OD∥BC.又∵AO＝OB，∴OE 是△ABC 的中位线，∴BC＝2OE＝2.8.3. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ， BD 是⊙ O 的直径， AE⊥CD ，垂足为点 E ， DA 平分∠ BDE.(1) 求证： AE 是⊙ O 的切线；(2) 若 AE ＝ 2 ， DE ＝ 1 ，求 CD 的长．【解析】(1)连接 AO，则∠OAD＝∠ODA＝∠ADE，∴OA∥CE，∴OA⊥AE，∴AE 是⊙O 的切线．(2)过点 O 作 OH⊥CD 于点 H，设 CH＝DH＝a，则 OD＝OA＝EH＝a＋1，OH＝AE＝2，∴(a＋1)2＝a2＋22，解得 a＝32，∴CD＝2a＝3.4 ．如图， PA ， PB 是⊙ O 的切线， A ， B 是切点，连接 OA ， OB ， OP. (1) 若∠ AOP ＝ 60° ，求∠ OPB 的度数；(2) 过 O 作 OC ， OD 分别交 AP ， BP 于 C ， D 两点，①若∠ COP ＝∠ DOP ，求证： AC ＝ BD ；②连接 CD ，设△ PCD 的周长为 l ，若 l ＝ 2AP ，判断直线 CD 与⊙ O 的位置关系，并说明理由．【解析】 (1) PA∵为⊙ O 的切线，∴∠ OAP ＝ 90°. 又∵∠ AOP ＝ 60° ，∴∠ APO ＝ 30° ，易证△ PAOPBO(HL)≌△，∴∠ OPB ＝∠ OPA ＝ 30°.(2)① 由△ PAOPBO≌△，∠ POB ＝∠ POA ，又∠ COP ＝∠ DOP ，∴∠ COA ＝∠ DOB ，∴△ AOCBOD≌△，∴ AC ＝ BD.②CD 与⊙ O 相切．理由：延长 PA 到点 F ，使 AF ＝ BD. OA∵＝ OB ，∠ OAF ＝∠ OBD ，∴△ OAFOBD≌△，∴ OF ＝ OD ，∴ l ＝ 2AP ＝ PA ＋ PB ＝ PC ＋ PD ＋ AC ＋ BD ＝ PC ＋ PD ＋ CD ，∴ CD ＝AC ＋ BD. AF∵＝ BD ，∴ CF ＝ CD. 又∵ OC ＝ OC ， OF ＝ OD ，∴△ OFCODC(SSS)≌△，∴ CF 和 CD 边上所对应的高也应该相等．过点 O 作 OECD⊥于点 E ，则 OE ＝ OA ，∴ CD 与⊙ O 相切．
