共面向量定理VIP免费

复 习1 ．向量的共线定理．2 ．平面向量基本定理．2. 在平面向量中，向量 与向量 （ ≠ 0 ）共线的充要条件是存在实数 λ ，使得 ＝ λ ．那么，空间任意一个向量 与两个不共线的向量 ， 共面时，它们之间存在什么样的关系呢？问题情境1. 怎样的向量是共面的向量呢？ baabaap�b构建数学DA1D1B1C1ABC如图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中， ， ，而 ， ， 在同一平面内，此时，我们称 ， ， 是共面向量．1 ． 共面向量的定义．一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量； （ 2 ）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了．11A BAB�＝11A DAD�＝AB�AD�AC�AB�AD�AC�注意：（ 1 ）若 ， 为不共线且同在平面 α 内，则 与 ， 共面的意义是 在 α 内或 ∥ ．ababp�p�p��2 ．共面向量的判定． 平面向量中，向量 与非零向量 共线的充要条件是类比到空间向量，即有 共面向量定理如果两个向量 ， 不共线，那么向量 与向量 ， 共面的充要条件是存在有序实数组 (x ， y) ，使得 ＝ x ＋ y ．ababp�ba＝p�aabb这就是说，向量 可以由不共线的两个向量 ， 线性表示．p�ab数学应用例 1 如图，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点 M ， N 分别在对角线 BD ， AE 上，且1133BMBDANAE＝，＝ABCDEFNM求证： MN// 平面 CDE2133�MNMBBAANCDDE＝＋＋＝＋证明：又 与 不共线根据共面向量定理，可知 ， ， 共面．由于 MN 不在平面 CDE 中，所以 MN// 平面 CDE ．�CD�DE�MN�CD�DE例 2 设空间任意一点 O 和不共线的三点 A ， B ， C ，若点 P 满足向量关系 （其中 x ＋ y ＋ z＝ 1 ） 试问P ， A ， B ， C 四点是否共面？�OPxOAyOBzOC＝＋＋例 3 已知 A ， B ， M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点 O ，确定在下列各条件下，点 P 是否与 A ， B ， M 一定共面？( )13�OB OMOPOA＋＝－() 24�OPOA OBOM＝－－注意：空间四点 P ， M ， A ， B 共面 存在惟一实数对�（ ，），使得＝＋xyMPxMAyMB(1)�＝＋＋其中， ＋ ＋ ＝OPxOMyOAzOBxyz练一练121212122833eeAB eeACeeADeeABCD��（1）已知非零向量 ， 不共线，如果＝ ＋ ，＝＋，＝－，求证： ， ， ， 共面．（ 2 ）已知平行四边形 ABCD ，从平面 AC 外一点 O 引向量， OEkOA OFkOBOGkOCOHkOD�＝，＝，＝，＝求证：①四点 E ， F ， G ， H共面； ② 平面 AC∥平面 EG ．回顾小结本节课学习了以下内容：1 ．了解共面向量的含义；2 ．理解共面向量定理；3 ．能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．