§5 简单复合函数的求导法则复合函数的定义及求导法则(1) 定义：对于两个函数 y=f(u) 和 u=φ(x)=ax+b ，给定x 的一个值，就得到了 u 的值，进而确定了 y 的值，这样y 可以表示成 x 的函数，我们称这个函数为函数y=f(u)和 u=φ(x) 的复合函数 .(2) 记法：函数 y=f(u) 和 u=φ(x) 的复合函数，记作y=f(φ(x)) ，其中 u 为中间变量 .(3) 求导法则： y′x=[f(φ(x))]′=f′(u)φ′(x).【思考】(1) 已知函数 f(x)=sin . 这个函数是复合函数吗？若是，由哪两个函数复合而成？(2x)6提示：是复合函数 . 函数 f(x)=sin 是由函数f(u)=sin u 和函数 u=φ(x)=2x+ 复合而成的 .(2x)66(2) 函数 f(x)=sin 分步求导数的过程是什么？(2x)6提示：令 u=2x+ ，则 f′(x)=f′(u)·u′(x)=(sin u)′· ′=cos u·2=2cos .6(2x)6(2x)6【素养小测】1. 思维辨析 ( 对的打“√”，错的打“ ×”)(1) 函数 y=e2x 的导数为 y′=2e2x. ( )(2)y=sin 2x 的导数为 y′=cos 2x.( )(3)y=(x-1)2 的导数为 y′=2(x-1).( )提示： (1)√. 由复合函数求导法则得 y′=2e2x. 也可将 y=e2x 变形为 y=(e2)x ，求导得 y′=(e2)xln e2 ，即 y′=2e2x.(2)×. 由复合函数求导法则得 y′=2cos 2x. 也可将y=sin 2x 变形为 y=2sin xcos x ，然后运用乘法求导法则 .(3)√. 由复合函数求导法则得 y′=2(x-1). 也可将y=(x-1)2 变形为 y=x2-2x+1 ，再求导 .2.(ln 2x)′ 等于( )111ln 2A. B. C. D.2xxxln 2x【解析】选 B.(ln 2x)′= (2x)′= .12x1x3.f(x)=(3x-a)2 ，且 f′(1)=6 ，则 a=________. 【解析】 f′(x)=2(3x-a)×(3x-a)′=6(3x-a)=18x-6a ，由 f′(1)=18-6a=6 ，解得 a=2.答案： 2类型一 复合函数的导数运算【典例】 1.(2018· 全国卷 II) 曲线 y=2ln(x+1) 在点(0 ， 0) 处的切线方程为 ________________ . 2. 已知函数 f(x)=(2x-3sin 3x)4.(1) 求 f(x) 的导数 .(2) 求 f′ 的值 .()6【思维 · 引】复合函数 y=f(φ(x)) 的求导法则：y′x=[f(φ(x))]′=f′(u)φ′(x).【解析】 1.y′= ， k= =2 ，所以切线方程为 y-0=2(x-0) ，即 y=2x.答案： y=2x2x120 12.(1) 因为 f(x)=(2x-3sin 3x)4 ，所以 f′(x)=[(2x-3sin 3x)4]′=4(2x-3sin 3x)3·(2x-3sin 3x)′=4(2x-3sin 3x)3·[(2x)′-...
