数学思想方法构建一 思想方法 1 方程思想在向量坐标运算中的应用从近两年课标区高考命题看，向量的坐标运算、向量垂直与共线的坐标表示是高考的重点．题目属中低档层次，主要考查学生的基本运算能力与方程思想的运用．[ 思路点拨 ] (1) 由向量垂直的充要条件，得关于 m 的方程，求出 m ，进而求 |a|.(2) 设 P(x ， y) ，借助坐标运算与方程思想，用 x ， y 表示 λ ， μ ，进而转化为求线性约束条件满足的区域面积．【典例 1】 (1)(2013·合肥调研)设向量 a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)， c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________. (2)(2013·北京)已知点 A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D 由所有满足AP→＝λAB→＋μAC→(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点 P 组成，则平面区域 D 的面积为________． 解析 (1) a＋c＝(3,3m)，且(a＋c)⊥b， ∴(a＋c)·b＝3(m＋1)＋3m·1＝0，∴m＝－12. 则a＝(1，－1)，∴|a|＝ 12＋－12＝ 2. (2)设P(x，y)，且A B→＝(2,1)，A C→＝(1,2) ∴O P→＝O A→＋A P→＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)． ∴ x＝1＋2λ＋μ，y＝－1＋λ＋2μ， ∴ 3μ＝2y－x＋3，3λ＝2x－y－3. 又1≤λ≤2,0≤μ≤1. ∴ 0≤x－2y≤3，6≤2x－y≤9表示的可行域是平行四边形及内部． 如图，点B(3,0)到直线x－2y＝0的距离d＝3 55 ， 又|BN|＝ 5， ∴区域D的面积S＝3 55 × 5＝3. 答案 (1) 2 (2)3 [反思与回顾] 1.本题常见的错误：(1)混淆向量坐标运算中平行与垂直的条件，导致计算错误，(2)在第(2)题中，由 x＝1＋2λ＋μ，y＝－1＋λ＋2μ解出x，y的取值范围，然后计算面积，致使面积变大．产生错误的原因是多次运用不等式的运算性质，使之出现不等价变形． 2．在向量的坐标运算中，重视方程思想的应用，若a，b为非零向量，a∥b⇔ a＝λb⇔ x1y2－y1x2＝0；a⊥b⇔ a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0.注意二者的区别． 思想方法 2 特殊化思想在客观题求解中的应用利用特殊条件代替题设的普遍条件，得出特殊结论．再对选择题中各个选项进行检验，从而做出正确的选择．当填空题中含有某些不确定的量，但题目的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可将条件特殊化处理得出结论．从而“小题小做”或“小题巧做”，优化解题过程． 【典例2】 (1)(2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，...
