隐函数与参量函数微分法VIP免费

§2.4 隐函数与参量函数微分法一、隐函数的导数 定义 : 由方程 F(x,y)=0 所确定的函数 y=y(x) 称为隐函数隐函数 . y=f (x) 形式的函数称为显函数显函数 . 如果从 F(x,y)=0 中解得 y=f (x), 称为隐函数隐函数的显化的显化 . 问题 : 隐函数不易显化或不能显化如何求导 ?例 1: 求由方程 xy–ex +ey =0 所确定的隐函数 y=y(x)0,xdxdydxdy的导数及其在 x=0 处的值 , 即例 2: 设 x4–xy +y4=1, 求 y 在点 (0, 1) 处的值 . 例 3:.,,lnarctan2222dxyddxdyyxxy求设再证反函数的求导法则dxdyy )(1)(1ydxdy 设 x=(y) 为直接函数 , y=f (x) 为其反函数 , y=f (x) 可视为由方程 x–(y)=0 确定的一个隐函数 . 由隐函数求导法则 , 在方程 x=(y) 两边对 x求导 , 得即二、对数求导法 方法 : 先在方程两边取对数 , 然后利用隐函数的求导方法求出导数 . —— 目的是利用对数的性质简化求导运算 . —— 对数求导法 适用范围适用范围 :: 11 、、多个简单函数积商多个简单函数积商 , , 乘方乘方 , , 开方的情形开方的情形 22 、、幂指函数幂指函数 uu((xx))vv((xx)) 的情形的情形 .例 5:.,)4(1)1(23yexxxyx求设例 6:.,dxdyyxxy求设例 4 ：的导数求)4)(3()2)(1(xxxxy ][2211nnaxaaxaaxayy.),0(2sinyxxyx求、设)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx练习练习 ::.,)()()(12121dxdyaxaxaxynanaa求、设 ])()()()(ln)([)()(1xuxuxvxuxvxfxf一般地 , 对幂指函数 ff ( (xx)= )= uu((xx))vv((xx)) (u(x)>0) 的情形 :等式两边取对数 , 得 ln ln ff ( (xx)=)=vv((xx) ln ) ln uu((xx).). 两边对 x 求导得])()()()(ln)([)()()(xuxuxvxuxvxuxfxv三、由参数方程所确定的函数的导数)()(tytx若参数方程则称 yy==yy((xx)) 为由参数方程确定的函数为由参数方程确定的函数 .确定 y 与 x 间的函数关系 , 消去参数 , 得 :例如 :由22tytx,2xt 得—— 参量函数y=[-1(x)]22)2( xty42xxy21问题 : 消参困难或无法消参如何求导 ?连续的反函数 t =-1(x), 在参数方程)()(tytx中 , 设函数 x=(t) 具有单调则 再设函数 x=(t), y=(t...