教研会：数学归纳法主讲人：高冉 数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。一、★知识梳理★1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等 ★重难点突破★重点：领会两个步骤的作用，运用数学归纳法证明一些简单的数学命题难点：对不同类型的数学命题，完成从 k 到 k+1 的递推重难点：了解数学归纳法的原理、正确运用数学归纳法1.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法2.归纳起点未必是 1 3.“归纳——猜想——证明”是一种重要的思维模式二、★方法总结★1、主要有两个步骤、一个结论: （1）证明当 n 取第一个值（如 =1 或 2 等）时结论正确 （2）假设 n=k (k∈N＋ ， 且 k≥ )时结论正确， 证明 n=k+1 时结论也正确 由（1）、（2）得出结论正确(命题成立)。2、数学归纳法证题三注意： （1) 不一定等于 1 (2)项数不一定只增加一项。 (3)一定用上假设（注意:用上假设递推才真）3、用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ① 明确初始值并验证真假。（必不可少） ②“假设 n=k 时命题正确”并写出命题形式。 ③ 分析“n=k+1 时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别,弄清左端应增加的项。 ④ 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并一定要用上假设。三、★数学归纳法的基本形式★1.第一数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果① 当时，成立；② 假设成立，由此推得时，也成立；那么根据①②可得到结论：对一切正整数 ，命题成立。2.第二数学归纳法（串值归纳法）设是一个与正整数有关的命题，如果① 当 时,成立；② 假设 成立，由此推得时,也成立；那么根据①②可得到结论：对一切正整数,命题成立。3.跳跃数学归纳法设 是一个与正整数有关的命题，如果①；② 假设 成立，由此推得时，也成立；那么根据①②可得到结论：对一切正整数 ，命题成立。4.反向 数学归纳法 设是一个与正整数有关的命题，如果①对无限多个正整数 n 成立；② 从命题成立可以推出命题也成立；那么根据①②可得到结论：对一切正整数 n，命题成立。如果命题对无穷多个自然数成立的证明很困难，我们还可以考虑反向数学归纳法的另外两种形式： Ⅰ ...
