矩阵的三角分解课件目 录• 矩阵的三角分解概述• LU 分解• Cholesky 分解• 完全三角分解• 矩阵的三角分解算法实现01矩阵的三角分解概述矩阵的三角分解是指一个矩阵可以表示为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。三角分解是一种唯一的分解，即一个矩阵的三角分解是唯一的。定义与性质性质定义三角分解的重要性简化计算三角分解可以将一个复杂的矩阵运算转化为简单的矩阵乘法，从而简化计算过程。应用广泛三角分解在许多领域都有广泛的应用，如线性方程组求解、特征值计算、数值分析等。QR 分解将一个矩阵表示为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积，其中 Q 是正交矩阵， R 是上三角矩阵。Cholesky 分解将一个对称正定矩阵表示为一个下三角矩阵的平方，其中 L 是下三角矩阵。LU 分解将一个矩阵表示为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，其中 L 是下三角矩阵， U是上三角矩阵。三角分解的分类02LU 分解LU 分解的定义LU 分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积。LU 分解是一种重要的矩阵分解方法，它在数值计算、线性方程组求解等领域有广泛应用。第五步验证 LU 分解的正确性，即验证 L 和 U 的乘积是否等于原矩阵 A 。第四步将所有子矩阵的上三角矩阵相乘，得到 U 矩阵。第三步将所有子矩阵的下三角矩阵相乘，得到 L 矩阵。第一步将给定的矩阵 A 按照主对角线元素进行划分，得到若干个子矩阵。第二步对每个子矩阵进行高斯消元，将其转化为下三角矩阵。LU 分解的步骤线性方程组求解LU 分解可以用于求解线性方程组 Ax=b ，通过将原方程组转化为 LUx=Pb 的形式，可以更方便地求解。数值计算LU 分解在数值计算中也有广泛应用，例如在计算行列式、求逆矩阵、特征值等问题中都可以利用 LU分解进行计算。LU 分解的应用03Cholesky 分解Cholesky 分解的定义Cholesky 分解是一种将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积的方法。它是一种有效的数值计算方法，广泛应用于线性方程组求解、最小二乘问题、优化问题等领域。第一步将给定的对称正定矩阵 A 表示为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A=LU 。第二步根据 A=LU ，将 A 的元素逐一填充到 L 和 U 中，使得 L 和 U 均为下三角或上三角矩阵。第三步通过迭代或直接计算的方法求解L 和 U 的元素，最终得到 A 的Cholesky 分解。Cholesky 分解的步...
