理解空间中线线、线面、面面的垂直关系如何用直线的方向向量与平面的法向量之间的关系来表示．会用向量解决空间中的垂直关系．重点：用直线的方向向量和平面的法向量来表示空间中的垂直关系．难点：向量共线、垂直与空间线、面垂直的联系．1 ．空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线 l 的方向向量为 a ＝ (a1 ，a2 ， a3) ，直线 m的方向向量为 b＝ (b1 ， b2 ， b3) ，则 l⊥m⇔设直线 l 的方向向量是 a ＝ (a1 ，b1 ， c1) ，平面 α的法向量 u ＝ (a2 ，b2 ， c2) ，则 l⊥α⇔若平面 α 的法向量 u ＝ (a1 ， b1 ，c1) 平面 β 的法向量为 v ＝ (a2 ， b2 ， c2) ，则 α⊥β⇔a⊥ba∥uu⊥v2. 空间中垂直关系的证明方法线线垂直线面垂直面面垂直① 证明两直线的方向向量的数量积为 0.② 证明两直线所成角为直角 .① 证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量．② 证明直线与平面内的相交直线互相垂直 .① 证明两个平面的法向量垂直．② 证明二面角的平面角为直角 .[ 例 1] 已知正方体 ABCD － A′B′C′D′ 中，点 M 、 N分别是棱 BB′ 与对角线 CA′ 的中点．求证： MN⊥BB′ ； MN⊥A′C.[分析] 正方体是特殊几何体，从一顶点出发的三条棱相互垂直，故方便建系，求出点的坐标，然后只要验证MN→ ·BB′→ ＝0，MN→ ·A′C→ ＝0 即可． [证明] 设正方体棱长为 1，以 A 为原点，AB→、AD→ 、AA′→分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 M1，0，12 ，B(1,0,0)，C(1,1,0)，A′(0,0,1)，N12，12，12 ，B′(1,0,1)，MN→ ＝－12，12，0 ，A′C→ ＝(1,1，－1)，BB′→ ＝(0,0,1)． MN→ ·A′C→ ＝－12，12，0 ·(1,1，－1)＝0， MN→ ·BB′→ ＝－12，12，0 ·(0,0,1)＝0， ∴MN⊥A′C；MN⊥BB′. 已知正方体 ABCD－A′B′C′D′中，点 M，N 分别在面对角线AD′和面对角线BD上，并且 AMAD′＝BNBD.求证：直线 MN⊥直线 AD. [证明] 设正方体棱长为 1，AMAD′＝BNBD＝λ，AB→＝a，AD→＝b，AA′→ ＝c，则MN→ ＝AN→－AM→ ＝AB→＋BN→－AM→ ＝AB→＋λBD→－λAD′→ ＝a＋λ(b－a)－λ(b＋c)＝(1－λ)a－λc 且 a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0， ∴AD→ ·MN→ ＝b·[(1－λ)a－...
