第二十四章 圆专题 28 圆中两垂直弦的问题武汉专版 · 九年级上册1 ．在⊙ O 中， AB⊥CD 于点 E.(1) 如图，若 AE ＝ DE ，求证： CE ＝ BE ；(2) 如图，若∠ AOD ＝ 140° ，求∠ BOC 的度数；【解析】连接 AD ， BC. AE∵＝ DE ，∴∠ A ＝∠ D.∵A∠＝∠ C ，∠ B ＝∠ D ，∴∠ C ＝∠ B. CE∴＝ BE. 【解析】连接 BC ，∵ AB⊥CD ，∴∠ EBC ＋∠ ECB ＝90°.∵∠AOC ＝ 2∠ABC ，∠ BOD ＝ 2∠BCD ，∴∠ AOC ＋∠ BOD ＝ 180°.∴∠AOD ＋∠ BOC ＝ 180° ，∴∠ BOC ＝40°.(3) 如图，若 AD ＝ 6 ， BC ＝ 8 ，求⊙ O 的半径；(4) 如图，若点 M 为 AC 的中点，求证： ME⊥BD ；【解析】连接 DO 并延长，交⊙O 于点 F，连接 BD，AF，BF.∵∠DAE＝∠DFB，∠AED＝∠FBD＝90°，∴∠ADC＝∠FDB.∴∠ADF＝∠CDB，∴AF︵＝BC︵.∴AF＝BC＝8.∵∠DAF＝90°，∴DF＝10.∴⊙O 的半径为 5.【解析】延长 ME 交 BD 于点 H. ABCD∵⊥，∴∠ AEC ＝ 90°.∵点 M 为 AC 的中点，∴ AM ＝ ME ＝ MC ，∴∠ A ＝∠ MEA.∵∠MEA ＝∠ BEH ，∴∠ A ＝∠ BEH.C∵∠ ＝∠ B ，∠ A ＋∠ C ＝ 90° ，∴∠ BEH ＋∠ B ＝ 90° ，∴ EHBD⊥，即 MEBD.⊥(5) 如图，若 ON⊥BD 于点 N ，求证： ON ＝ AC.21【解析】过点 O 作 OP⊥AC 于点 P，连接 OA，OC，OB，OD，BC，∵OP⊥AC，ON⊥BD，∴∠AOP＝12∠AOC，AP＝CP，∠DON＝12∠BOD.由(2)得∠AOC＋∠BOD＝180°，∴∠AOP＋∠DON＝12(∠AOC＋∠BOD)＝90°.∵∠AOP＋∠OAP＝90°，∴∠OAP＝∠DON，∴△OAP≌△DON(AAS)．∴AP＝ON.∴AP＝PC＝ON，∴ON＝12AC.
