① 有一个角是直角② 有一组邻边相等 正方形③ 平行四边形 .正方形的定义：有一组邻边相等 且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 矩形菱形正方形平行四边形四边形归纳：由上可知，正方形既是矩形也是菱形。 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。正方形的性质 = 正方形性质 : 边 : 对边平行 四边相等 角 ：四个角都是直角对角线：相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。 范例精讲你能说明 △ABO BCO CDO ADO≌ △≌ △≌△吗？ 说明：∵正方形 ABCD ∴AC=BD, AO=CO=1/2AC BO=DO=1/2BD ∴ AO=CO= BO=DO 又∵ＡＣ⊥ BD ∴∠AOB BOC=90 °∠ ∴ △ABO BCO≌ △ 同理可得：△BCO CDO ≌ △ADO≌△ ∴ △ ABO BCO ≌ △≌ △CDO ADO≌△ 例 1. 如图正方形 ABCD 对角线 AC 、BD ，相交于点 O 。 例 2 ．如图 (3) ，正方形 ABCD 中， AC 、 BD 相交于 O ， 分析：要证明 BM ＝ CN ，大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? △ABMBCN≌△MNAB∥且 MN 分别交 OA 、 OB 于 M 、N ，求证： BM ＝ CN 。 你能完成证明吗 ??? AB ＝ BC ，∠ 1 ＝∠ 2 ＝ 45 ° 条件够吗？ 还需要的条件是 AM ＝ BN你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件 ?由正方形可以得到的条件有： 例 2 ．如图 (3) ，正方形 ABCD 中， AC 、 BD 相交于 O ， MNAB∥且 MN 分别交 OA 、 OB 于 M 、N ，求证： BM ＝ CN 。 证明： ∵四边形 ABCD 是正方形 ∴ OA ＝ OB , ∠ 1 ＝∠ 2 ＝∠ 3 ＝ 45° 又∵ MNAB∥ ∴∠OMN ＝∠ 1 ＝∠ 3 ＝∠ ONM ＝ 45° OM∴＝ ON OA∴－ OM ＝ OB － ON 即 AM ＝ BN下面大家自己完成证明 例 3 ．已知：如图 (4) 在正方形 ABCD 中， F 为 CD 延长线 上一点， CEAF⊥于 E ，交 AD 于 M ， 求证：∠ MFD ＝ 45°分析：欲证∠ MFD ＝ 45° ，由于△MDF 是直角三角形 , 只须证△ MDF是等腰三角形 , 即只要证 _____=_____要证 MD ＝ FD ，大家只须证得哪两个三角形全等 ? △CMDADF△ 变式：已知：如图 (4) 在正方形 ABCD 中， F为 CD 延长线上一点， CEAF⊥于 E ，交 AD于 M ，求证：∠ MFD ＝ 45°证明：∵ CEAF⊥ 正方形 ABCD ∴∠ADC ＝∠ AEM ＝ ∠ ADF =90° 又∵∠ CMD ＝∠ AME 1∴∠ ＝∠ 2 又∵ CD ＝ AD ，∠ ADF ＝∠ ADC ∴ RtCDMRtADF△≌△ (AAS) DM=DF∴ ∵ ∠ADF =90° ∴ ∠MFD ＝ 45° 例 4 ．如图 (6) ，△ ABC 的外面作正方形 ABDE和 ACFG ，连结 BG 、 CE ，交点为 N 。求证：∠ CEA ＝∠ ABG 分析：欲证∠ CEA ＝∠ ABG ，大家想一想证明两个角相等的方法，证明：∵四边形 ABDE 和四边形 ACFG 是正方形。 ∴ AE ＝ AB AG ＝ AC ∠ 1 ＝∠ 2 ＝ 90° 又∵∠ EAC ＝∠ 1 ＋∠ BAC ＝ 90° ＋∠ BAC ∠ BAG ＝∠ 2 ＋∠ BAC ＝ 90° ＋∠ BAC ∴∠ EAC ＝∠ BAG ∴△ AECABG≌△ (SAS) ∴∠ CEA ＝∠ ABG
