对一道高考参数取值问题的多元解读甘肃省景泰县第二中学 柏红香 邮编 730400 联系电话 138930426712014 年高考数学课标卷Ⅰ理科第 11 题已知函数 f(x)= ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0, 且 x0> 0,则 a 的取值范围是（ ）A （2，+ ∞） B （-∞，-2） C （1， + ∞） D （-∞，-1） 本题是以含参数的三次多项式函数为背景的参数取值问题。虽然素材朴实，题干简洁，但解题思路灵活，求解过程精彩纷呈，是一道能区分考生思维品质的好题。 思路 1 特值开道，排除干扰 解法 1 （1）当 a=4 时，函数 f(x)= 4x3-3x2+1 有零点，等价于方程 4x3-3x2+1=0 有解，又等价于方程 4x3 =3x2-1 =有解。分析函数 y=4x3 与 y= 3x2-1 的图像特征，不难判断两曲线在第三象限必有一交点，因此函数 f(x)必有一负零点，可排除A,C. (2)当 a=-2 时，f(x)= -2x3-3x2+1 =-(x+1)(2x2 +x-1),显然函数 f(x)必有负零点，排除 D, 故选 B。 评析：解答选择题，方法非常多。可以肯定一支，否定三支，也可以逻辑分析，合情推理。若采用特值法求解，尽量遵循小题小做，做到巧，快，活，准。 思路 2 构造函数，另辟蹊径解法 2 函数 f(x)有零点等价于方程 f(x)=0 有解，方程可化为 ax3= 3x2 -1,令 h(x)=ax3, g(x)=3x2 -1.由题意知，a≠0,下面讨论 a＞0, a＜0 的情况。（1） 当 a＞0 时，根据两函数的大致图像，立刻判断出函数 f(x)必有一负零点，不符合条件。（2） 当 a＜0 时，要使函数 f(x)有且只有一个正零点，只需满足在第二象限函数 h(x)的图像恒在 g(x)图像的上方，即 ax3＞ 3x2 -1,（x＜0），分离参数 a,得 a＜3x2−1x3(x＜0﹚,令 F（x）=3x2−1x3,问题转化为求 F(x)的最小值。对 F(x)求导，则F'( x)=-3x 2+3x4 令 F′(x)=0 ，解得 x=-1 或 x=1(舍去)。当 x∈（-1，0）时 ，F′(x)＞0； 当 x∈（-∞，-1）时， F′(x)＜0，因此函数 F（x）在x=-1 时取得极小值也是最小值，又 F( -1)=-2,故 a＜ -2。综上所属，选 B 项。 评析：构造函数法是解决函数零点问题，参数取值范围常见的方法。本解法对考生的思维能力要求比较高，首先构造，其次分离，最后转化，归结为不等式恒成立问题。同时体现了转化与化归，分类与整合的数学思想方法。思路 3 数形结合，相得益彰 解法 3 当 a≠0 时，方程 f(x)=0 是一个关于 x 的一元三次方程，我们无法直接求...
