第二十四章 圆专题 31 圆与角平分线武汉专版 · 九年级上册一、圆与内角平分线1 ．如图，⊙ O 为△ ABC 的外接圆，弦 CD 平分∠ ACB.(1) 若 AB 为⊙ O 的直径，求证： CA ＋ CB ＝ CD ；2【解析】连接 AD，BD，过点 A 作 AM⊥CD 于点 M，过点 B 作 BN⊥CD 于点 N.∵CD 平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，AD＝BD.∴CM＋CN＝ 22(CA＋CB)．易证△ADM≌△DBN(AAS)，∴DN＝AM＝CM.∴CD＝CN＋DN＝CN＋CM＝ 22(CA＋CB)，∴CA＋CB＝ 2CD.(2) 若∠ ACB ＝ 120° ，其他条件不变，求 的值；CA＋CBCD【解析】连接 AD，BD，过点 B 作 BE∥CD 交 AC 的延长线于点 E.∴∠E＝∠ACD＝60°，∠ECB＝60°.∴BE＝EC＝CB.∵∠ADB＝∠ECB＝60°，AD＝BD，∴△ADB 为等边三角形．∴AD＝DB＝AB.∴△ABE≌△DBC(SAS)．∴CD＝AE＝AC＋CE＝CA＋CB，∴CA＋CBCD＝1.(3) 若 AB 为⊙ O 的直径，连接 AD ， BD ，若 CD ＝ 3 ，求四边形 ACBD 的面积．2【解析】∵弦 CD 平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，AD＝BD.∴∠DAB＝∠DBA＝45°.∴AD＝ 22AB.∵AB2＝AC2＋BC2，∴S 四边形 ACBD＝12AC·BC＋12AD2＝14(AC＋BC)2，由(1)得 AC＋BC＝2CD＝6，∴S 四边形ACBD＝9.二、圆与外角平分线2 ．如图，⊙ O 为△ ABC 的外接圆，弦 CP 平分△ ABC 的外角∠ ACQ ，∠ ACB ＝ 90°.(1) 求证： ＝ ；(2) 求证： AC － BC ＝ PC.PB︵PA︵2【解析】(1)连接 PA，PB.∵CP 平分∠ACQ，∠ACB＝90°，∴∠ACP＝∠PCQ＝45°.∵∠PCQ＝∠PAB，∠ACP＝∠ABP，∴∠PAB＝∠ABP＝45°.∴PA︵＝PB︵.(2)过点 P 作 PD⊥PC 交 AC 于点 D，则△PDC 为等腰直角三角形．∴DC＝ 2PC.∵PA︵＝PB︵，∴PA＝PB.∵∠PDC＝45°，∴∠PDA＝135°.∵∠PCB＝∠PCA＋∠ACB＝135°，∴∠PDA＝∠PCB.∵∠PAD＝∠PBC，∴△PDA≌△PCB，∴AD＝BC.∴AC－BC＝AC－AD＝DC＝ 2PC.
