在《三角形重心原理和杠杆原理》一文，说了点数学结论里面的物理原理，数理本就一家，今天我们再来一次这样的探讨。我们用杠杆原理证明三角形里著名的三线共点。不过并不打算一个一个证明，因为所有的三线共点都可以归结为著名的塞瓦定理，只要我们能证明塞瓦定理，所有的三线共点都只是其中的一种特殊情况而已，这一点我在《三角形的那些三线共点的证明》一文里已经很详细阐述。 先看今天的主角——杠杆原理： 质点组的重心在两质点的连线上，且到两质点的距离与这两点的质量成反比。用图形话的语言来说就是： 如果 O 点是 G 和 M 的平衡点，G 点和 H 点的质量为 G 何 H，他们到平衡点的距离为 m 和 n，则一定有 Gm=Hn。反之，若 O 点的位置满足 Gm=Hn。则 O 点一定是 G 和 H 的平衡点。 今天就是要用杠杆原理来证明塞瓦定理，当然首先要知道什么是塞瓦定理。 塞瓦定理： 在△ABC 中，过三顶点向对边做线段，AX、BY、CZ，则这三条线段交于一点的充要条件是： 看这结论多漂亮！我们如今用杠杆原理来证明 证明：设 BX=a，XC=b，CY=c，YA=d，AZ=e，ZB=f。在 B 点放置质量为 a 的质点，C 点放置质量为 b 的质点，A 点放置质量为 bd/c 的质点，至于为什么要这样放，看下图就知道： 之所以这样放，就是因为这时候 B 点和 C 点的重心就在 X 点（因为满足杠杆原理），A 点和 C 点的重心就是 Y 点。因此，质点组(A,B,C)的重心一定在直线 AX 上,又在 BY 上，也就必然是 AX 和 BY 的交点了，如果我们能证明该质点组的重心还在 CZ 上的话，那就说明 CZ 过 AX 和BY 的交点了，因为一个质点组的重心只有一个，从而证明了 AX，BY 和 CZ 共点。而依据条件： 这样就证明了塞瓦定理。我们可以依照类似的方法证明必要性，在这里我就忽略了。有了塞瓦定理，那么三角形的那些三线共点就都可以得到证明。
