线段的垂直平分线线段的垂直平分线 一门科学只有发展到运用数学时，才算真正完善了！ --------- 马克思 学习目标：学习目标：1. 能说出线段的垂直平分线的性质定理及逆定理，并知道它们的区别。2. 会应用定理及逆定理证明线段相等，计算线段长度和作图。 1. 垂直平分线： 垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 2. 试判断命题“等腰三角形底边高上任一点到底边两端点的距离相等”的真假性。ABCOD 已知：在△ ABC 中， AB=AC,ADBC⊥于 D,O为 AD 上任一点。求证： OB=OC证明： AB=AC,AD BC ⊥ BAO= CAO(∴ ∠∠等腰三角形三线合一性质 ) 在△ ABO 和△ ACO 中 ｛ ABCDOAB=AC∠BAO= CAO∠AO=AO( 公共边 ) ∴ △ABOACO(SAS)≌△∴OB=OC( 全等三角形对应边相等 ) 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点 的距离相等。PABMNC已知：如图，直线 MN⊥ AB, 垂足是C, 且 AC=CB, 点 P 在 MN 上。求证： PA=PB证明： MN ⊥ AB ∴ ∠PCA= ∠PCB( 垂直的定义 ) 在△ PCA 和△ PCB 中 ｛ AC=CB ∠ PCA=∠PCB PC=PC( 公共边 )∴△PCA ≌PCB(SAS)∴PA=PB ( 全等三角形对应边相等 ) 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。ABPMNO已知：如图，点 P 为线段 AB 外一点，且 PA=PB求证：点 P 在 AB 的垂直平分线上证明：过 P 作 MN ⊥ AB 于 O ∴ ∠POA= ∠ POB=90° 在 Rt△PAO 和 Rt△PBO中 ｛PA=PB( 已知 )PO=PO( 公共边 )∴△PAO ≌ △ PBO(HL)∴AO=BO( 全等三角形的对应边相等 )∴MN 是 AB 的垂直平分线∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 定理： 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点 的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。由上知：线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合。 此互逆定理与角平分线性质类似，试回忆角平分线性质。开动脑筋 例 1. 求证 : 三角形三边中垂线交点到三顶点距离相等。ABCp已知：如图，△ ABC 中，边 AB 、 BC 的垂直平分线相交于点 P.求证： PA=PB=PC证明： 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， PA=PB( 线段垂直平分线上的点和这条 线段两个端 点 的距离相等 ) 同理 PB=PC ∴PA=PB=PC角平分线交点有何特征？ 例 2. 已知：如图，在...
