第二十三章 旋转专题 20 旋转中的计算问题 ( 二)—— 求长度和面积武汉专版 · 九年级上册一、利用旋转求长度1 ． (2017· 武汉 ) 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 2 ，∠ BAC ＝ 120° ，点 D ， E 都在边 BC上，∠ DAE ＝ 60° ，若 BD ＝ 2CE. 求 DE 的长．2 ．如图，在△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， AC ＝ BC ＝ ，将△ ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60° 到△ AB′C′ 的位置，连接 BC′ ，求 BC′ 的长．3【解析】由 AB＝AC＝2 3，∠BAC＝120°，设 CE＝x，BD＝2x，则 DE＝6－3x，将△ABD绕点 A 逆时针旋转 120°到△ACF 位置，连接 EF，由题意可证△ADE≌△AFE，则 EF＝DE＝6－3x，过 F 做 FG⊥BC 于 G，则由∠ECF＝60°，∴CG＝CE＝x，即点 E 与点 G 重合，∴FG⊥CE，∴FE＝ 3CE，∴6－3x＝ 3x，解得 x＝3－ 3，∴DE＝6－3x＝3 3－3.2【解析】连接 BB′，由题意，得 AB＝AB′，∠BAB′＝60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB＝BB′＝AB′.延长 BC′交 AB′于点 D，又∵AC′＝B′C′，∴BD 垂直平分 AB′，∴AD＝B′D.∵AB＝2，∴AB′＝2，∴AD＝B′D＝1，∴BD＝ 3，C′D＝1，∴BC′＝ 3－1.二、利用旋转求面积3 ．如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30° 到正方形 AB′C′D′ ，求图中阴影部分面积．4 ．如图，正方形 ABCD 的面积为 4 ，对角线交于点 O ，点 O 是正方形 A1B1C1O 的一个顶点，如果这两个正方形全等，正方形 A1B1C1O 绕点 O 旋转．(1) 求两个正方形重叠部分的面积；(2) 若正方形 A1B1C1O 旋转到 B1 在 DB 的延长线时，求 A 与 C1 的距离．【解析】设 B′C′与 CD 的交点为 E，连接 AE，可证 Rt△AB′E≌Rt△ADE(HL)，∴∠DAE＝∠B′AE.∵旋转角为 30°，∴∠DAB′＝60°，∴∠DAE＝12×60°＝30°，∴DE＝ 33，∴阴影部分的面积＝1×1－2×(12×1× 33)＝1－ 33.【解析】(1)可证△AOE≌△BOF，∴S△AOE＝S△BOF.∵S 两个正方形重叠部分＝S△BOE＋S△BOF，∴S 两个正方形重叠部分＝S△ABO＝14S 正方形 ABCD＝14×4＝1.(2)延长 C1O 交 AD 于点 G，AD＝AB＝2，∴C1F＝12OC1＝1，AG＝1，∴C1G＝3，根据勾股定理，得 AC1＝ 10.
