均值不等式应用1. (1) 若Rba,,则abba222(2)若Rba,,则222baab(当且仅当ba时取“ = ”)2. (1) 若*,Rba,则abba2(2)若*,Rba,则abba2(当且仅当ba时取“ = ”)(3) 若*,Rba,则22baab(当且仅当ba时取“ = ”)3. 若0x,则12xx(当且仅当1x时取“ = ”)若0x,则12xx(当且仅当1x时取“ = ”)若0x,则11122-2xxxxxx即或(当且仅当ba时取“ = ”)4. 若0ab,则2abba(当且仅当ba时取“ = ”)若0ab,则22-2abababbababa即或(当且仅当ba时取“ = ”)5. 若Rba,,则2)2(222baba(当且仅当ba时取“ = ”)『 ps.(1) 当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.(2) 求最值的条件“一正,二定,三取等”(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一:求最值例 1:求下列函数的值域( 1)y= 3x 2+12x 2(2)y=x+1x解: (1)y = 3x 2+12x 2 ≥23x 2·12x 2=6 ∴值域为 [6 , + ∞)(2) 当 x>0 时, y=x+1x ≥2x·1x= 2;当 x<0 时, y= x+1x= -(-x-1x)≤-2x·1x= - 2 ∴值域为(-∞,- 2] ∪[2 ,+ ∞)解题技巧技巧一:凑项例已知54x,求函数14245yxx的最大值。解:因 450x,所以首先要“调整”符号,又1(42)45xx不是常数,所以对42x要进行拆、凑项,5 ,5404xx,11425434554yxxxx231当且仅当15454xx,即1x时,上式等号成立,故当1x时,max1y。评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。技巧二:凑系数例 1. 当时,求(82 )yxx的最大值。解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82 )8xx为定值,故只需将(82 )yxx 凑上一个系数即可。当,即 x= 2 时取等号当 x= 2 时,(82 )yxx 的最大值为8。评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。变式:设230x,求函数)23(4xxy的最大值。解: 230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。技巧三:分离例 3. 求2710 (1)1xxyxx的值域。解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+ 1)的项,再将其分离。当,即时,421)591yxx((当且仅当x=1...