均值不等式公式总结及应用VIP免费

均值不等式应用1. (1) 若Rba,，则abba222(2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba时取“ = ”）2. (1) 若*,Rba，则abba2(2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“ = ”）(3) 若*,Rba，则22baab(当且仅当ba时取“ = ”）3. 若0x，则12xx(当且仅当1x时取“ = ”）若0x，则12xx(当且仅当1x时取“ = ”）若0x，则11122-2xxxxxx即或(当且仅当ba时取“ = ”）4. 若0ab，则2abba(当且仅当ba时取“ = ”）若0ab，则22-2abababbababa即或(当且仅当ba时取“ = ”）5. 若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba时取“ = ”）『 ps.(1) 当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2) 求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例 1：求下列函数的值域（ 1）y＝ 3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解： (1)y ＝ 3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2＝6 ∴值域为 [6 ， + ∞）(2) 当 x＞0 时， y＝x＋1x ≥2x·1x＝ 2；当 x＜0 时， y＝ x＋1x= －（－x－1x）≤－2x·1x= － 2 ∴值域为（－∞，－ 2] ∪[2 ，+ ∞）解题技巧技巧一：凑项例已知54x，求函数14245yxx的最大值。解：因 450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，5 ,5404xx，11425434554yxxxx231当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例 1. 当时，求(82 )yxx的最大值。解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82 )8xx为定值，故只需将(82 )yxx 凑上一个系数即可。当，即 x＝ 2 时取等号当 x＝ 2 时，(82 )yxx 的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。解： 230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。技巧三：分离例 3. 求2710 (1)1xxyxx的值域。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋ 1）的项，再将其分离。当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1...