非线性理论学习心得 实际中时变的现象或者过程的数学描述，依赖于微分方程。当这个过程有不止一个影响因素时，这个数学模型表现为多变量的微分方程组。如果这几个影响因素之间也相互影响，模型表现为一个有耦和的微分方程组，即一个变量的微分由包含其他变量的函数表示。根据微分方程的形式，可以对系统做出划分，这些划分可以初步地表现系统的一些性质，比如，用自治微分方程表示的系统，其中的变量变化速度与时间无关，即这是一个没有加速度的系统，所有的变量以各自恒定的速度变化，对每个变量，速度只在空间上有差别。 一个微分方程表达的数学模型是否可以真实得反映一个系统，首先的判断是方程是否有解，因为一个确定无解的方程对描述实际的系统没有意义。这就是解的存在性判断。在有解的前提下，还需要判断解的唯一性，对某个给定条件，是否可以确定唯一的解，或者至少是否能在某个局部区域得到唯一解，这是可以根据初始条件明确推测系统行为的前提。针对每一类方程（按照形式或其中某部分的形式分类），都有相应的存在——唯一性定理，可以作为判断的依据。这些方程的分类彼此之间也有涵盖，所以这些存在唯一性定理也可以通过一些相应的倒换或条件变化彼此联系。 在确定了解的存在性之后，微分方程的第二个重要问题是求解。简单的微分方程可以直接求出解析解。从一般的一阶微分方程起，每个类型的方程对应一类相对固定的解法，高阶的微分方程能够写出解析解的不多，针对这些类型也有相应的求解公式。耦合系统的方程求解比较复杂，可以化为无耦合系统求解后再转化为原来坐标下的藕和系统解。 不能给出解析解或解析解过于复杂的系统，有两种处理办法。一是数值求解。另一种是借助几何的方式定性分析解的行为。对不少实际问题，这种定性分析都可用满足我们了解系统的期望，通常借用的手段是相图、分叉图，结合奇点的类型和稳定性分析，可以得到关于系统变化方式、走向、平衡状态和稳定性的信息。 第 1 页 共 13 页 在历史上，随着数学和科技的发展，人们对自然的认识、把握、控制能力增强，前人们一度认为，如果根据系统足够多的信息给定系统的模型，结合系统在这些点的值，就可以完全掌握这个系统的变化，准确的回溯这个系统的历史，并且预言它在今后任何时间点的表现。从这个观点上看，世界不但是可知、绝对可知的，而且是完全确定的，一个过程一旦开始，在不引入也不减少影响因素的情况下，就会经由唯一确定的变化过程，导向唯一...
