第四章因式分解一、因式分解的意义：因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式注意：①结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式；②因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（）A．(x+1)(x−1)=x2−1B．(a−b)(m−n)=(b−a)(n−m)C．ab−a−b+1=(a−1)(b−1)D．m2−2m−3=m(m−2−3m)例02．在下面多项式中，能通过因式分解变形为−(3x−1)(x+2y)的是（）A．3x2+6xy−x−2yB．3x2−6xy+x−2yC．x+2y+3x2+6xyD．x+2y−3x2−6xy二、因式分解的方法类型一、提公因式法提公因式时应注意：⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正；⑵公因式的系数和字母应分别考虑：①系数是各项系数的最大公约数；②字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。例01．在下面因式分解中，正确的是（）A．x2y+5xy−y=y(x2+5x)B．a(a−b−c)+b(c−a+b)+c(b−a+c)=−(a−b−c)2C．x2(2−a)+x(a−2)=x(2−a)(x−1)D．2ab2−4ab3−ab=2ab(b2−2b2−1)例02．把−8x4y+6x3y2−2x3y分解因式的结果为。例03．分解因式：−6(x−y)3+18(y−x)2−24(y−x)3.说明：⑴观察题目结构特征⑵对于(x−y)与(y−x)的符号有下面的关系：{x−y=−(y−x),¿{(x−y)2=(y−x)2,¿{(x−y)3=−(y−x)3¿¿¿¿例04．解方程：(12x+6)(23x−18)+6(1+2x)(13−23x)=0例05．不解方程组{2m−n=3,¿¿¿¿求：5n(2m−n)2−2(n−2m)3的值.类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：a2−b2=(a+b)(a−b)注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成a2−b2的形式，并弄清a、b分别表示什么。例如：分解因式：（1）1−9x2；（2）4a2−169b2；（3）(m+n)2−4(m−n)22、利用完全平方公式因式分解：a2±2ab+b2=(a±b)2注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成a2±2ab+b2=(a±b)2公式原型，弄清a、b分别表示的量。2、利用立方和立方差公式因式分解：a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)典型例题：例1用平方差公式分解因式：（1）−9x2+(x−y)2；（2）13m2−3n2说明：因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。例2分解因式：（1）a5b−ab；（2）a4(m+n)−b4(m+n).说明：将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.例3判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？（1）a2−6a+9；（2）x2−8x+9；（3）4x2−12x−9；（4）−12xy+x2+36y2.说明：可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.例4把下列各式分解因式：⑴−x2+4x−4；⑵42xy−49x2−9y2⑶−m2−4n2+4mn说明：使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号时，先提出负号.例5分解因式：⑴3ax2+6axy+3ay2.⑵24a2b2−6(a2+b2)2说明：⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解.⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.例6分解因式：3(m−2n)2−6(2n−m)(m+n)+9(m+n)2；⑵a4−8a2b2+16b4；⑶(m2+2m)2+2(m2+2m)+1.⑷a4−14a2b3+49b6说明：在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.例7若x2+2(a+4)x+25是完全平方式，求a的值.说明：根据完全平方公式特点求待定系数a，熟练公式中的“a、b”便可自如求解.例8已知a+b=2，求12a2+ab+12b2的值.说明：将所求的代数式变形，使之成为a+b的表达式，然后整体代入求值.例9已知x−y=1，xy=2，求x3y−2x2y2+xy3的值.说明：这类问题一般不适合通过解出x、y的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy与x−y的式子，再整体代入求值.例10证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.说明：可用字母表示出四个连...
