三个正数的算术几何平均不等式VIP免费

选修 4 － 5 不等式选讲 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.3 三个正数的 算术 - 几何平均不等式 1. 基本不等式有哪几种变式形式？（ 1 ） a2 ＋ b2≥2ab （ a ， b∈R ），当且仅当 a ＝ b 时等号成立； （ 2 ） (a ＞ 0 ， b ＞ 0) ，当且仅当 a ＝ b 时等号成立；2abab问题提出 探究（一）：三个正数的算术－几何平均不等式思考 1 ：对于两个正数 a ， b ，由基本不等式有 , 根据类比推理猜测 ,对于三个正数 a ， b ， c 有什么类似不等式？2abab33abcabc 思考 2 ：上述不等式等价于 a3 ＋ b3 ＋ c3≥3abc （ a ， b ， cR∈＋）， 如何判断该不等式是否成立？ 33332233322222222222223()333()333() ()()3()()23()()1 () ()()()02abcabca ba babcabca bca bababca b ca ba b ccab a b ca b caab bac bccaba b c abcab bc caa b ca bb cca      思考 3 ：根据上述分析得到什么定理？定理 3 ：若 a,b,c∈R ＋ , 则当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号成立 .33abcabc33.abcabc  (1)abc积为定值时，(2)abc 和为定值时，3() .3abcabc ,.abc 当且仅当时 等号成立 思考 4 ：类比两个数 对于三个数 得到什么结论？2221122a bababab,,a b a bR, ,, ,a b c a b cR2223311133a b cabcabcabc  思考 5 ：类似推理，可将基本不等式推广到一般情形，得到什么结论？对于 n 个正数 a1 ， a2 ，…， an, 它们的算术平均不小于其几何平均，即1212nnnaaaa aan 33xyzxyz证因为，所以明：327xyzxyz（），327xyzxyz即（）例 1: 已知 x, y, z∈R+ ，求证 :3()27.xyzxyz典例运用 例 2: 当 0