直接证明与间接证明直接证明与间接证明（（ 33 ））直接证明与间接证明直接证明与间接证明（（ 33 ））之反证法之反证法 思考？ A 、 B 、 C 三个人， A 说 B 撒谎， B 说C 撒谎， C 说 A 、 B 都撒谎。则 C 必定是在撒谎，为什么？分析 : 假设 C 没有撒谎 , 则 C 真 . 那么 A 假且 B 假 ;由 A 假 , 知 B 真 . 这与 B 假矛盾 .那么假设 C 没有撒谎不成立 ;则 C 必定是在撒谎 . 反证法： 假设命题结论的反面成立，经过正确的推理 , 引出矛盾，因此说明假设错误 ,从而证明原命题成立 , 这样的的证明方法叫反证法。反证法的思维方法：正难则反 例 1 用反证法证明：如果 a>b>0 ，那么a > b证：假设 a >b不成立，则 a ≤b若 a =b，则a = b,与已知a > b矛盾,若 a b矛盾,故假设不成立，结论 a >b成立。 练一练： 已知 a≠0 ，证明 x 的方程 ax=b有且只有一个根。证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，1212不妨设其中的两根分别为x ，x 且x ≠ x12则ax = b，ax = b12∴ax = ax12 ∴ax - ax = 012 ∴a（x - x ）= 01212 x ≠ x ，x - x ≠ 0 ∴a = 0与已知a ≠ 0矛盾,故假设不成立，结论成立。 反思 1 ：用反证法证题的一般步骤是什么？（ 1 ）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。（ 2 ）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（ 3 ）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 例 2 求证： 是无理数。2证：假设 2是有理数，m则存在互质的整数m，n使得 2 =，n∴ m =2n22∴ m = 2n2∴m 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N ）2222从而有4k = 2n ，即n = 2k2∴n 也是偶数， 这与m，n互质矛盾！假设不成立，故 是无理数。2 练一练： 1 、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？（ 1 ）与原命题的条件矛盾；（ 2 ）与定义、公理、定理等矛盾；（ 3 ）与结论的反面成立矛盾。（ 1 ）难于直接使用已知条件导出结论的命题；（ 2 ）唯一性命题；（ 3 ）“至多”或“至少”性命题；（ 4 ）否定性或肯定性命题。2 、你认为反证法的使用情形有那些？反思 2 ： 说明：常用的正面叙述词语及其否定：正面词语等于大于（ > ）小于 (<)是都是否定正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的至多有 n个...
