4.2 用数学归纳法证明不等式1.了解数学归纳法的原理及其使用范围.2.会用数学归纳法证明与自然数有关的一些不等式.1.用数学归纳法证明含正整数 n 的不等式(其中 n 取无限多个值)(n≥1,n∈N*).思考 1 填空.已知 x>-1,且 x≠0,n∈N*,n≥2.求证:(1+x)n>1+nx.证明:(1)当 n=________时,左边=(1+x)2=1+2x+x2,右边=1+2x,因 x2>0,则原不等式成立. (在这里,一定要强调之所以左边>右边,关键在于 x2>0 是由已知条件 x≠0 获得的,为下面证明做铺垫)(2)假设 n=k(k________)时,不等式成立,即________.当 n=k+1 时,因为 x>-1,所以 1+x>0,于是左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2;右边=1+(k+1)x.因为________,所以左边>右边,即(1+x)k+1>1+(k+1)x.这就是说,原不等式在 n=k+1 时也成立.根据(1)和(2),原不等式对任何不小于 2 的自然数 n 都成立.答案: 2 ≥2,k∈N* (1+x)k>1+kx kx2>02.用数学归纳法证明不等式的关键是:假设在 n=k 时命题成立,再证明 n=k+1 时命题也成立,这也是学好数学归纳法的重中之重.当然第一步是证明的基础,也是不能少的.思考 2 用数学归纳法证明:1+++…+1)时,第一步即证明不等式________.答案: 1++<211.用数学归纳法证明“1+++…+<n(n∈N*,n>1)”时,由 n=k(k>1)不等式成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项数是( ) A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+1答案: C2.当 n=1,2,3,4,5,6 时,比较 2n与 n2的大小并猜想( )A.n≥1 时,2n>n2 B.n≥3 时,2n>n2C.n≥4 时,2n>n2 D.n≥5 时,2n>n2答案: D3.用数学归纳法证明 2nn>n2(n∈N,n≥5),则应第一步验证 n=________.答案: 54.用数学归纳法证明++…+>-,假设 n=k 时不等式成立,当 n=k+1 时,应推证的目标不等式是________________.答案: -+>-5.关于正整数 n 的不等式 2n>n2成立的条件是( )A.n∈N* B.n≥4C.n>4 D.n=1 或 n>4答案: D6.对于不等式≤n+1(n∈N+);某学生的证明过程如下:(1)当 n=1 时,≤1+1,不等式成立.(2)假设当 n=k(k∈N+)时,不等式成立,即<k+1.当 n=k+1 时,=<==(k+1)+1,∴当 n=k+1 时,不等式成立.∴上述不等式成立.由此可知( )A.过程全部正确B.n=1 时的验证不正确C....