4．2 用数学归纳法证明不等式1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．2．会用数学归纳法证明与自然数有关的一些不等式．1．用数学归纳法证明含正整数 n 的不等式(其中 n 取无限多个值)(n≥1，n∈N*)．思考 1 填空．已知 x＞－1，且 x≠0，n∈N*，n≥2
求证：(1＋x)n＞1＋nx
证明：(1)当 n＝________时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x，因 x2＞0，则原不等式成立． (在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于 x2＞0 是由已知条件 x≠0 获得的，为下面证明做铺垫)(2)假设 n＝k(k________)时，不等式成立，即________．当 n＝k＋1 时，因为 x＞－1，所以 1＋x＞0，于是左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2；右边＝1＋(k＋1)x
因为________，所以左边＞右边，即(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x
这就是说，原不等式在 n＝k＋1 时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于 2 的自然数 n 都成立．答案: 2 ≥2，k∈N* (1＋x)k＞1＋kx kx2＞02．用数学归纳法证明不等式的关键是：假设在 n＝k 时命题成立，再证明 n＝k＋1 时命题也成立，这也是学好数学归纳法的重中之重．当然第一步是证明的基础，也是不能少的．思考 2 用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)时，第一步即证明不等式________．答案: 1＋＋n2成立的条件是( )A．n∈N* B．n≥4C．n>4 D．n＝1 或 n>4答案: D6．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)；某学生的证明过程如下：(1)当 n＝1 时，≤1＋1，不等式成立．(2)假设当 n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即＜k＋1
当 n＝k＋1 时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴当
