知能专练（十五） 空间角与空间向量一、选择题1．正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，点 M 在AC1上且AM＝MC1，N 为 B1B 的中点，则|MN|为( )A.a B.aC.a D.a解析：选 A 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设 M(x，y，z)． 点 M 在AC1上且AM＝MC1.∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，∴x＝a，y＝，z＝，于是 M.∴|MN|＝ ＝a.2．(2016·全国卷Ⅰ)平面 α 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A，α∥平面 CB1D1，α∩平面 ABCD＝m，α∩平面 ABB1A1＝n，则 m，n 所成角的正弦值为( )A. B. C. D.解析：选 A 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1的上方接一个同等大小的正方体 ABCDA2B2C2D2，则过 A 与平面 CB1D1平行的是平面 AB2D2，平面 AB2D2∩平面 AA1B1B＝AB2，即直线 n 就是直线 AB2，由面面平行的性质定理知直线 m 平行于直线 B2D2，故 m，n 所成的角就等于 AB2与 B2D2所成的角，在等边三角形AB2D2中，∠AB2D2＝60°，故其正弦值为.3.在四面体 ABCD 中，二面角 ABCD 为 60°，点 P 为直线 BC 上一动点，记直线 PA 与平面 BCD 所成的角为 θ，则( )A．θ 的最大值为 60°B．θ 的最小值为 60°C．θ 的最大值为 30°D．θ 的最小值为 30°解析：选 A 过 A 作 AH⊥平面 BCD 于点 H，AG⊥BC 于点 G，连接PH，GH，则易知∠AGH 为二面角 ABCD 的平面角，即∠AGH＝ 60°，∠APH 为PA 与平面 BCD 所成角，则 tan∠APH＝.因为 AH 为定长，所以当 PH 取得最小值时，∠APH 取得最大值，易知当点 P 与点 G 重合时，PH 取得最小值，所以 θmax＝∠AGH＝60°，故选 A.4．(2017·哈师大附中模拟)三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是边长为的正三角形，AA1⊥平面 ABC，且 AA1＝1，则异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选 D 如图，把两个相同的三棱柱组合在一起，由于A1B∥A2B1，那么 A2B1与 B1C 所成的角即为 A1B 与 B1C 所成的角，由题可得A2B1＝B1C＝，A2C＝，则有 A2B＋B1C2＝A2C2，所以∠A2B1C＝90°，故所求的异面直线 A1B 与 B1C 所成的角为 90°，故选 D.5 ． 已 知 锐 二 面 角 α l β 中 ， 异 面 直 线 a ， b 满 足 ：a⊂α，a⊥l，b⊂β，b 与 l 不垂直，设二面角 α l β 的大小为 θ1 ，a 与β1所成的角为 θ2...
