专题 11 空间几何体1．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.＋πB.＋πC.＋πD．1＋π答案 C2．封闭的直三棱柱 ABC—A1B1C1内有一个体积为 V 的球，若 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则 V 的最大值是( )A．4π B. C．6π D.答案 B解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径为 4.三棱柱的高为 3，所以球的最大直径为 3，V 的最大值为.3．在梯形 ABCD 中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. B. C. D．2π答案 C解析 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径，线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为 V＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故选 C.4．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )A．16B．8＋8C．2＋2＋8D．4＋4＋8答案 DS△PAB＝S△PBC＝×2×2＝2.所以几何体的表面积为 4＋4＋8.5．在正三棱锥 S－ABC 中，点 M 是 SC 的中点，且 AM⊥SB，底面边长 AB＝2，则正三棱锥 S－ABC 的外接球的表面积为( )A．6πB．12πC．32πD．36π答案 B6．已知半径为 1 的球 O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．答案 解析 如图所示，设圆柱的底面半径为 r，则圆柱的侧面积为 S＝2πr×2＝4πr≤4π×＝2π(当且仅当 r2＝1－r2，即 r＝时取等号)．所以当 r＝时，＝＝.7．如图，已知平面四边形 ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°，沿直线 AC 将△ACD 翻折成△ACD′，直线 AC 与 BD′所成角的余弦的最大值是________．答案 8．已知在三棱锥 P—ABC 中，PA⊥平面 ABC，AB＝AC＝PA＝2，且在△ABC 中，∠BAC＝120°，则三棱锥 P—ABC 的外接球的体积为________．答案 解析 由余弦定理得：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，∴BC2＝22＋22－2×2×2×(－)＝12，∴BC＝2.设平面 ABC 截球所得截面圆半径为 r，则 2r＝＝4，所以 r＝2.由 PA＝2 且 PA⊥平面 ABC 知球心到平面 ABC 的距离为 1，所以球的半径为 R＝＝，所以 V 球＝πR3＝.9．如图，侧棱长为 2 的正三棱锥...
