第 18 讲 导数的简单应用A 级——高考保分练1．若 f(x)＝，则 f′＝________.解析：f′(x)＝，∴f′＝－.答案：－2．当函数 y＝x·2x取极小值时，x＝________.解析：令 y′＝2x＋x·2xln 2＝0，∴x＝－.经验证，－为函数 y＝x·2x的极小值点．答案：－3．(2019·连云港调研)若 f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1 对 x∈R 恒成立，则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为________．解析： f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1，①∴f(－x)＋3f(x)＝－x3－2x＋1，②联立①②，解得 f(x)＝－x3－x＋，则 f′(x)＝－x2－1，∴f(1)＝－－1＋＝－，f′(1)＝－－1＝－，∴切线方程为 y＋＝－(x－1)，即 10x＋4y－5＝0.答案：10x＋4y－5＝04．已知函数 f(x)＝ln x－(m∈R)在区间[1，e]上取得最小值 4，则 m＝________.解析：因为 f(x)在区间[1，e]上取得最小值 4，所以至少满足 f(1)≥4，f(e)≥4，解得m≤－3e，又 f′(x)＝，且 x∈[1，e]，所以 f′(x)<0，即 f(x)在[1，e]上单调递减，所以 f(x)min＝f(e)＝1－＝4，解得 m＝－3e.答案：－3e5．(2019·苏北四市期末)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C：xy＝上任意一点 P 到直线l：x＋y＝0 的距离的最小值为________．解析：设过曲线 C：xy＝上任意一点 P 的切线与直线 l：x＋y＝0 平行．因为 y′＝－，所以 y′|x＝x0＝－＝－，解得 x0＝±.当 x0＝时，P(，1)到直线 l：x＋y＝0 的距离 d＝＝；当 x0＝－时，P(－，－1)到直线 l：x＋y＝0 的距离 d＝＝，所以曲线 C：xy＝上任意一点到直线 l：x＋y＝0 的距离的最小值为.答案：6.设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则函数 f(x)的极大值、极小值分别是________．解析：由题图可知，当 x<－2 时，f′(x)>0；当－2
2 时，f′(x)>0.由此可以得到函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值，在 x＝2 处取得极小值．答案：f(－2)、f(2)7．若函数 f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则 a 的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由 f′(x)＝0 得 x＝±a，当－aa 或 x<－a 时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增，∴f(x)的极大值为 f(－a)，极小值为 f(a)．∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0 且 f(a)＝a3－3a3＋a<0...
