第十节 变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数：① 定义：称函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率lim＝lim为函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数，记作 f′(x0)或 y′，即 f′(x0)＝lim＝lim.② 几何意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点( x 0， f ( x 0 ))处的切线斜率．相应地，切线方程为 y － f ( x 0) ＝ f ′( x 0)( x － x 0) ． (2)函数 f(x)的导函数：称函数 f′(x)＝lim为 f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝n · x n － 1 f(x)＝sin xf′(x)＝cos_xf(x)＝cos xf′(x)＝－ sin _xf(x)＝axf′(x)＝a x ln _a(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝e x f(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝ln xf′(x)＝3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f ′( x )± g ′( x ) ；(2)[f(x)·g(x)]′＝f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ；(3)′＝(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′· u x′，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( )(2)求 f′(x0)时，可先求 f(x0)再求 f′(x0)．( )(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( )(4)若 f(x)＝e2x，则 f′(x)＝e2x.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)有一机器人的运动方程为 s(t)＝t2＋(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻 t＝2 时的瞬时速度为( )1A. B. C. D.D [由题意知，机器人的速度方程为 v(t)＝s′(t)＝2t－，故当 t＝2 时，机器人的瞬时速度为 v(2)＝2×2－＝.] 3．已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为 f(x)的导函数，则 f′(0)的值为________．3 [因为 f(x)＝(2x＋1)ex，所以 f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以 f′(0)＝3e0＝3.]4．曲线 y＝－5ex＋3 在点(0，－2)处的切线方程为________．5x＋y＋2＝0 [ y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率 k＝y′＝－5e0＝－5，∴切线方程为 y－(－2)＝－5(x－0)，即 5x＋y＋2＝0.]5．已知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则 a＝________. 【导学号：51...
