保分大题规范专练（三）1．已知 m＝(sin ωx，cos ωx)，n＝(cos ωx，－cos ωx)(ω>0，x∈R)，f(x)＝m·n－且f(x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)若△ABC 中内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且 b＝，f(B)＝0，sin A＝3sin C，求 a，c 的值及△ABC 的面积．解：(1)f(x)＝m·n－＝sin ωxcos ωx－cos2ωx－＝sin 2ωx－cos 2ωx－1＝sin－1.∵相邻两对称轴之间的距离为，∴T＝＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin－1，由 2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得 kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)由(1)知，f(B)＝sin－1＝0，∵00，从而函数 g(x)在 x∈[0，＋∞)上单调递增，g(x)≥g(0)＝0，即 x≥0 时，f(x＋1)≥x－x2.(2)由(1)知，x≥0 时，ln(x＋1)≥x－x2，则 x≥1 时，ln x＝ln[(x－1)＋1]≥(x－1)－(x－1)2＝－x2＋2x－.若 t≤－1，则当 x≥1 时，(t＋1)ln x＋tx2＋3t<0<4x，原不等式不成立．若 t>－1，x≥1，则 f(x)－4x＝(t＋1)ln x＋tx2－4x＋3t≥(t＋1)＋tx2－4x＋3t＝(x2＋4x＋3)，从而 f(x)≥4x 恒成立时，t≥1.综上所述，t 的取值范围为[1，＋∞)．2
