习题课（一）导数及其应用1．若曲线 f(x)＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线方程是 x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1解析：选 A 由 f′(x)＝2x＋a，得 f′(0)＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得 b＝1，故选A.2．已知函数 f(x)＝x3－x2＋cx＋d 有极值，则 c 的取值范围为( )A. B.C. D.解析：选 A 由题意得 f′(x)＝x2－x＋c，若函数 f(x)有极值，则 Δ＝1－4c＞0，解得 c＜.3．已知函数 f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24 在 x＝2 处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A．(2,3) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)解析：选 B 因为函数 f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24 在 x＝2 处有极值，又 f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以 f′(2)＝0，解得 a＝－15.令 f′(x)＞0，解得 x＞3 或 x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．4．曲线 y＝x＋x3在点处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( )A．3 B．2C. D.解析：选 D y′＝1＋x2，故切线的斜率 k＝f′(1)＝2，又切线过点，∴切线方程为 y－＝2(x－1)，即 y＝2x－，切线和 x 轴，y 轴的交点分别为，.故所求三角形的面积为××＝，故选 D.5．函数 y＝ln x－x 在 x∈(0，e]上的最大值为( )A．e B．1C．－1 D．－e解析：选 C 函数 y＝ln x－x 的定义域为(0，＋∞)，又 y′＝－1＝，令 y′＝0 得 x＝1，当 x∈(0,1)时，y′>0，函数单调递增；当 x∈(1，e)时，y′<0，函数单调递减．当 x＝1 时，函数取得最大值－1，故选 C.6．已知函数 f(x)＝－x3＋2x2＋2x，若存在满足 0≤x0≤3 的实数 x0，使得曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线 x＋my－10＝0 垂直，则实数 m 的取值范围是( )A．[6，＋∞) B．(－∞，2]C．[2,6] D．[5,6]解析：选 C f′(x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6，因为 x0∈[0,3]，所以 f′(x0)∈[2,6]，又因为切线与直线 x＋my－10＝0 垂直，所以切线的斜率为 m，所以 m 的取值范围是[2,6]．7．曲线 y＝在点 M 处的切线方程为________．解析： y′＝′＝，∴切线的斜率 k＝y′＝－.1∴所求切线的方程为 y－0＝－，即 y＝－x＋1.答案：y＝－x＋18．(2018·江苏高考)若函数 f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则 f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．解析：法一：f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(x>0)．① 当 a...
