课时作业 48 利用向量求空间角1．在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 E 为 BB1的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( B )A. B.C. D.解析：以 A 为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，设棱长为 1，则 A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，∴A1D＝(0,1，－1)，A1E＝，设平面 A1ED 的一个法向量为 n1＝(1，y，z)．则有即∴∴n1＝(1,2,2)． 平面 ABCD 的一个法向量为 n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝，即所成的锐二面角的余弦值为.2．(2019·大同模拟)设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，则点 D1到平面 A1BD 的距离是( D )A. B.C. D.解析：如图，以点 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立坐标系，则 D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，D1A1＝(2,0,0)，DB＝(2,2,0)，DA1＝(2,0,2)，设平面 A1BD 的一个法向量 n＝(x，y，z)，则∴令 z＝1，得 n＝(－1,1,1)．∴D1到平面 A1BD 的距离 d＝＝＝.3．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 α 所成的角都相等，则 α 截此正方体所得截面面积的最大值为( A )1A. B.C. D.解析：由正方体的性质及题意可得，正方体共顶点的三条棱所在直线与平面 α 所成的角均相等．如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，易知棱 AB，AD，AA1所在直线与平面 A1BD 所成的角均相等，所以 α∥平面 A1BD，当平面 α趋近点 A 时，截面图形的面积趋近于 0；当平面 α 经过正方体的中心 O 时，截面图形为正六边形，其边长为，截面图形的面积为 6××2＝；当平面 α 趋近于 C1时，截面图形的面积趋近于0，所以截面图形面积的最大值为，故选 A.4．已知三棱锥 P-ABC 的所有顶点都在表面积为 16π 的球 O 的球面上，AC 为球 O 的直径．当三棱锥 P-ABC 的体积最大时，二面角 P-AB-C 的大小为 θ，则 sinθ 等于( C )A. B.C. D.解析：如图，设球 O 的半径为 R，由 4πR2＝16π，得 R＝2，设点 P 到平面 ABC 的距离为 d，则 0＜d≤2，因为 AC 为球的直径，所以 AB2＋BC2＝AC2＝16，则V 三棱锥 P-ABC＝AB·BC·d≤··2＝，当且仅当 AB＝BC＝2，d＝2 时，V 三棱锥 P-ABC取得最大值，此时平面 PAC⊥平面 ABC，连接 PO，因为 PO⊥AC，平面 PAC∩平面 ABC＝AC，PO⊂平面 PAC，所以 PO⊥平面 ...
