核心素养测评十七 导数的存在性问题(30 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)1.若存在正实数 x 使 ex(x2-a)<1 成立,则实数 a 的取值范围是( )A.(-1,+∞)B.(0,+∞)C.(-2,+∞)D.[-1,+∞)【解析】选 A.存在正实数 x 使 ex(x2-a)<1 成立,即 a>x2-在区间(0,+∞)上有解,令 f(x)=x2-,f′(x)=2x+>0,所以 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以 f(x)>f(0)=-1,又 a>x2-在区间(0,+∞)上有解,所以 a∈(-1,+∞).2.(多选)若函数 f(x)=6xex-2ax3-3ax2存在三个极值点,则 a 的取值可能为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选 CD.由题意得:f′=6ex+6xex-6ax2-6ax=6,可知 x=-1 为 f′的一个零点.若 f存在三个极值点,则只需 ex-ax=0 有两个不等实根,且两实根均不等于-1,即 g=ex与 h=ax 有两个横坐标不等于-1 的交点,当 h与 g相切时,设切点坐标为:,g′==a,又=a,所以 x0=1,a=e,由图象可知:a∈时,ex-ax=0 有两个不等实根,且两实根均不等于-1.所以若 f存在三个极值点,则 a∈,故 C D 正确.3.已知函数 f(x)=e2x,g(x)=ln x+ ,对∀a∈R,∃b∈(0,+∞),f(a)=g(b),则 b-a 的最小值为( )A.-1B.1-C.2-1D.1+【解析】选 D.设 f(a)=g(b)=t,t∈(0,+∞),可得 a=,b=,令 h(t)=b-a=-,t∈(0,+∞),则 h′(t)=-,令 h′(t)=0,得 t= ,由于 h′(t)=-是增函数,所以 t∈时,h′(t)<0,t∈时,h′(t)>0,因此 h(t)在上单调递减,在上单调递增,从而 h(t)的最小值为 h=1+.4.(2020·重庆模拟)若函数 f(x)=ex在(0,1)内存在极值点,则实数 a 的取值范围是( )A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,-1] D.[-1,0)【解析】选 A.函数 f(x)=ex,定义域为{x|x≠0},f′(x)=ex+xex-=,因为 f(x)在(0,1)内存在极值点,则 f′(x)==0 的实数根在(0,1)内,即 x3+x2-ax+a=0 的实数根在区间(0,1)内,令 g(x)=x3+x2-ax+a,可知,函数 g(x)=x3+x2-ax+a 在(0,1)内存在零点,讨论 a:a=0 时,g(x)=x2(x+1)在(0,1)上无零点.a>0 时,在(0,1)上,g(x)=x3+x2+(1-x)a>0,无零点.a<0 时,g(0)=a<0,g(1)=2>0,在(0,1)上有零点.所以实数 a 的取值范围是 a<0.二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)5.若函数 f(x)= x3+x2- 在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数 a 的取值范围是________. 【解析】由题意,f′(x)=x2+2x=x(x+2), 故 f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,作 y=f(x)的图象大致如图,令 x3+x2- =- 得,x=0 或 x=-3;则结合图象可知,解得,a∈[-3,...
