高中数学 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1.1.4 锐角三角函数与射影定理练习（含解析）新人教B版选修4-1-新人教B版高二选修4-1数学试题VIP免费

1.1.4 锐角三角函数与射影定理1.如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,则线段 AC 在 AB 上的射影长等于( ) A.4B.6C.2D.2√13解析:∵BC⊥AB,∴AC 在 AB 上的射影是 AB.答案:A2.如图,在△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于点 D,若 BD·DC=16,则 AD 等于( )A.2B.4C.16D.不确定解析:由题意知,AD2=BD·DC=16,故 AD=4.答案:B3.如图,在 Rt△MNP 中,MN⊥MP,MQ⊥PN 于点 Q,MN=3,PN=9,则 NQ 等于( )A.1B.3C.9D.27解析:∵MN2=NQ·NP,∴32=NQ×9.∴NQ=1.答案:A★4.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,AD=3,BD=2,则 AC∶BC 的值是( )1A.3∶2B.9∶4C.√3∶√2D.√2∶√3解析:在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,由射影定理知,AC2=AD·AB,BC2=BD·AB.∵AD=3,BD=2,∴AB=AD+BD=5.∴AC2=3×5=15,BC2=2×5=10.∴ ACBC =√15√10=√3√2,即 AC∶BC=√3∶√2.答案:C5.如图,在 Rt△ABP 中,∠ABP=90°,BC⊥AP,垂足为 C,且 AB=2√6,AC=4,则 PB= . 解析:∵在 Rt△ABP 中,∠ABP=90°,BC⊥AP,∴AB2=AC·AP,即(2√6)2=4AP,解得 AP=6.在Rt△ABP 中,由勾股定理,得 BP=√ A P2- A B2=√62-(2√6 )2=2√3.答案:2√36.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,CD=√6,AB=5,则 AD= . 解析:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴CD2=AD·DB.∵CD=√6,∴AD·DB=6.又 AB=5,∴DB=5-AD.∴AD·(5-AD)=6,解得 AD=2 或 AD=3.答案:2 或 37.如图,已知线段 a,b,求作线段 c,使 b 是 a 和 c 的比例中项,并加以证明.作法如图.2(1)作线段 AB=a,过 B 作 AB 的垂线 l,在 l 上取一点 C,使 BC=b;(2)连接 AC,过 C 作 AC 的垂线 l',l'交 AB 的延长线于点 D,则线段 BD 为所求作的线段 c.证明:∵AC⊥CD,CB⊥AD,∴CB2=AB·BD.∴b2=ac,即线段 c 满足 b 是 a 和 c 的比例中项.★8.在△ABC 中,∠BAC 是直角,AD 是斜边 BC 上的高,AB=2AC.求证:5AD=2BC.证明在 Rt△ABC 中,设 AC=k,则 AB=2AC=2k,于是 BC=√ A C2+ A B2=√5k,AC2=BC·CD=√5k·CD=k2,则 CD=√55k.∵AD2=CD·BD,BD=BC-CD=4 √55k,∴AD2=√55k×4 √55k,∴AD=2√55k.∴ ADBC =25,即 5AD=2BC.34