第 3 讲 导数的简单应用一、选择题1．已知直线 2x－y＋1＝0 与曲线 y＝aex＋x 相切(其中 e 为自然对数的底数)，则实数 a的值是( )A． B．1C．2 D．e解析：选 B．由题意知 y′＝aex＋1＝2，则 a>0，x＝－ln a，代入曲线方程得 y＝1－ln a，所以切线方程为 y－(1－ln a)＝2(x＋ln a)，即 y＝2x＋ln a＋1＝2x＋1⇒a＝1.2．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在 x＝1 处的极值为 10，则数对(a，b)为( )A．(－3，3) B．(－11，4)C．(4，－11) D．(－3，3)或(4，－11)解析：选 C．f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可得即消去 b 可得 a2－a－12＝0，解得 a＝－3 或 a＝4，故或当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，这时 f(x)无极值，不合题意，舍去，故选C．3．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知 f(x)在 R 上连续可导，f′(x)为其导函数，且f(x)＝ex＋e－x－f′(1)x·(ex－e－x)，则 f′(2)＋f′(－2)－f′(0)f′(1)＝( )A．4e2＋4e－2 B．4e2－4e－2C．0 D．4e2解析：选 C．由题意，得 f′(x)＝ex－e－x－f′(1) [ex－e－x＋x(ex＋e－x)]，所以 f′(0)＝e0－e0－f′(1)[e0－e0＋0·(e0＋e0)]＝0，f′(2)＋f′(－2)＝0，所以 f′(2)＋f′(－2)－f′(0)f′(1)＝0，故选 C．4．已知 f(x)＝x2＋ax＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数 a 的取值范围为( )A．(－∞，－2] B．C．[－2，＋∞) D．[－5，＋∞)解析：选 C．由题意得 f′(x)＝2x＋a＋＝≥0 在(1，＋∞)上恒成立⇔g(x)＝2x2＋ax＋3≥0 在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a2－24≤0 或⇔－2≤a≤2 或⇔a≥－2，故选 C．5．函数 f(x)(x>0)的导函数为 f′(x)，若 xf′(x)＋f(x)＝ex，且 f(1)＝e，则( )A．f(x)的最小值为 e B．f(x)的最大值为 eC．f(x)的最小值为 D．f(x)的最大值为解析：选 A．设 g(x)＝xf(x)－ex，所以 g′(x)＝f(x)＋xf′(x)－ex＝0，所以 g(x)＝xf(x)－ex为常数函数．因为 g(1)＝1×f(1)－e＝0，所以 g(x)＝xf(x)－ex＝g(1)＝0，所以 f(x)＝，f′(x)＝，当 01 时，f′(x)>0，所以 f(x)≥f(1)＝e.6．若函数 f(x)＝ex－(m＋1)ln x＋2(m＋1)x－1 恰有两个极值点，则实数 m 的取值范围为( )A．(－e2，－e) B．C． D．(－∞，－e－1)解析：选 D．由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ex－(m＋1)＝0 在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，所以 m＋1＝在(0，＋∞)...
