[练案 49]高考大题规范解答系列(四)——立体几何1．(2019·安徽黄山质检)如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1中，D 是 BC 的中点，且 AD⊥BC，四边形 ABB1A1为正方形．(1)求证：A1C∥平面 AB1D；(2)若∠BAC＝60°，BC＝4，求点 A1到平面 AB1D 的距离．[解析] (1)连接 BA1，交 AB1于点 E，再连接 DE，由已知得，四边形 ABB1A1为正方形，E 为 A1B 的中点， D 是 BC 的中点，∴DE∥A1C，又 DE⊂平面 AB1D，A1C⊄平面 AB1D，∴A1C∥平面 AB1D.(2) 在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，平面 BCC1B1⊥平面 ABC，且 BC 为它们的交线，又 AD⊥BC，∴AD⊥平面 BCC1B1，又 B1D⊂平面 BCC1B1，∴AD⊥B1D，且 AD＝2，B1D＝2.同理可得，过 D 作 DG⊥AB，则 DG⊥面 ABB1A1，且 DG＝.设 A1到平面 AB1D 的距离为 h，由等体积法可得：VA1－AB1D＝VD－AA1B1，即··AD·DB1·h＝··AA1·A1B1·DG，即 2·2·h＝4·4·，∴h＝.即点 A1到平面 AB1D 的距离为.(注：本题也可建立空间直角坐标系用向量法求解．)2．(2019·天津，17)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面 PAC⊥平面 PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3.(1)设 G，H 分别为 PB，AC 的中点，求证：GH∥平面 PAD；(2)求证：PA⊥平面 PCD；(3)求直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值．[解析] (1)证明：连接 BD，易知 AC∩BD＝H，BH＝DH.又由 BG＝PG，故 GH∥PD.又因为 GH⊄平面 PAD，PD⊂平面 PAD，所以 GH∥平面 PAD.(2)取棱 PC 的中点 N，连接 DN.依题意，得 DN⊥PC，又因为平面 PAC⊥平面 PCD，平面 PAC∩平面 PCD＝PC，所以 DN⊥平面 PAC，又 PA⊂平面 PAC，故 DN⊥PA.又已知 PA⊥CD，CD∩DN＝D，所以 PA⊥平面 PCD.(3)连接 AN，由(2)中 DN⊥平面 PAC，可知∠DAN 为直线 AD 与平面 PAC 所成的角．因为△PCD 为等边三角形，CD＝2 且 N 为 PC 的中点，所以 DN＝.又 DN⊥AN，在 Rt△AND中，sin∠DAN＝＝.所以，直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值为.3．(2018·课标全国Ⅰ卷)如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥BF.(1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD；(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．[解析] (1)由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以 BF⊥平面 PEF.又 BF⊂平面 AB...
