第 8 讲 正弦定理和余弦定理的应用举例1．两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40°，灯塔 B 在观察站南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的( )A．北偏东 10°B．北偏西 10°C．南偏东 80°D．南偏西 80°解析：选 D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80°.2．一艘船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60°方向，行驶 4 h 后，船到达 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15°方向，这时船与灯塔的距离为( )A．15 kmB．30 kmC．45 kmD．60 km解析：选 B.如图所示，依题意有 AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB 中，由正弦定理，得＝，解得 BM＝30，故选 B.3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d＝0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB＝1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为( )A．8 km/hB．6 km/hC．2 km/hD．10 km/h解析：选 B.设 AB 与河岸线所成的角为 θ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而 cos θ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得 v＝6.4．如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m、50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为( )A．30°B．45°C．60°D．75°解析：选 B.依题意可得 AD＝20(m)，AC＝30(m)，又 CD＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又 0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°.5．某船开始看见灯塔在南偏东 30°方向，后来船沿南偏东 60°的方向航行 15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )A．5 kmB．10 kmC．5 kmD．5 km解析：选 C.作出示意图(如图)，点 A 为该船开始的位置，点 B 为灯塔的位置，点 C 为该船后来的位置，所以在△ABC 中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，B＝120°，AC＝15，由正弦定理，得＝，即 BC＝＝5，即这时船与灯塔的距离是 5 km.6．海上有 A，B 两个小岛相距 10 n mile，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角，从 B...
