专题过关检测（十四） 数 列1．(2019·北京高考)设{an}是等差数列，a1＝－10，且 a2＋10，a3＋8，a4＋6 成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前 n 项和为 Sn，求 Sn的最小值．解：(1)设{an}的公差为 d.因为 a1＝－10，所以 a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因为 a2＋10，a3＋8，a4＋6 成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)，所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)，解得 d＝2.所以 an＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)由(1)知，an＝2n－12.则当 n≥7 时，an>0；当 n≤6 时，an≤0.所以 Sn的最小值为 S5＝S6＝－30.2．(2019·洛阳统考)已知等差数列{an}的公差 d≠0，若 a3＋a9＝22，且 a5，a8，a13成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设 bn＝，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.解：(1)设数列{an}的首项为 a1，依题意，解得 a1＝1，d＝2，∴数列{an}的通项公式为 an＝2n－1.(2) bn＝＝＝＝1＋＝1＋，∴Sn＝1＋×＋1＋×＋…＋1＋＝n＋＝.3．(2019·长沙统考)已知数列{an}的首项 a1＝3，a3＝7，且对任意的 n∈N*，都有 an－2an＋1＋an＋2＝0，数列{bn}满足 bn＝a，n∈N*.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求使 b1＋b2＋…＋bn>2 018 成立的最小正整数 n 的值．解：(1)令 n＝1 得，a1－2a2＋a3＝0，解得 a2＝5.又由 an－2an＋1＋an＋2＝0 知，an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1＝2，故数列{an}是首项 a1＝3，公差 d＝2 的等差数列，于是 an＝2n＋1，bn＝a＝2n＋1.(2)由(1)知，bn＝2n＋1.于是 b1＋b2＋…＋bn＝(21＋22＋…＋2n)＋n＝＋n＝2n＋1＋n－2.令 f(n)＝2n＋1＋n－2，易知 f(n)是关于 n 的单调递增函数，又 f(9)＝210＋9－2＝1 031，f(10)＝211＋10－2＝2 056，故使 b1＋b2＋…＋bn>2 018 成立的最小正整数 n 的值是 10.4．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列是首项为 1，公差为 2 的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足＋＋…＋＝5－(4n＋5)·n，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.解：(1)因为数列是首项为 1，公差为 2 的等差数列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以 Sn＝2n2－n.当 n＝1 时，a1＝S1＝1；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n)－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3，当 n＝1 时，a1＝1 也符合上式．所以数列{an}的通项公式 an＝4n－3(n∈N*)．(2)当 n＝1 时，＝，所以 b1＝2a1＝2；当 n≥2 时，由＋＋…＋＝5－(4n＋5)n...
