课时跟踪检测(十六) 导数与函数的综合问题 (分 A、B 卷，共 2 页)A 卷：夯基保分1．一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为 20 km/h 时，每小时消耗的煤价值 40 元，其他费用每小时需 400 元，火车的最高速度为 100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？2．(2015·山西四校联考)已知 f(x)＝ln x－x＋a＋1.(1)若存在 x∈(0，＋∞)使得 f(x)≥0 成立，求 a 的取值范围；(2)求证：当 x＞1 时，在(1)的条件下，x2＋ax－a＞xln x＋成立．3．(2014·四川高考)已知函数 f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中 a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值；(2)若 f(1)＝0，函数 f(x)在区间(0,1)内有零点．证明：e－2
0，使得 ln x－x＋a＋1≥0，∴a≥－ln x＋x－1，令 g(x)＝－ln x＋x－1，则 g′(x)＝－＋1＝.令 g′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0＜x＜1 时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，当 x＞1 时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0.故 a 的取值范围是[0，＋∞)．(2)证明：原不等式可化为x2＋ax－xln x－a－＞0(x＞1，a≥0)．令 G(x)＝x2＋ax－xln x－a－，则 G(1)＝0.由(1)可知 x－ln x－1＞0，则 G′(x)＝x＋a－ln x－1≥x－ln x－1＞0，∴G(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴G(x)>G(1)＝0 成立，∴x2＋ax－xln x－a－＞0 成立，即 x2＋ax－a>x1nx＋成立．3．解：(...
