考点集训(三十三) 第 33 讲 等比数列及其前 n 项和对应学生用书 p236A 组题1．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn＝a·3n－1＋b，则＝( )A．－3B．－1C．1D．3[解析] Sn＝a·3n－1＋b, ∴a1＝S1＝a＋b，n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2a·3n－2，因为数列是等比数列，∴a＋b＝2a×，即 b＝－a，＝－3.[答案]A2．(多选)等差数列{an}的前 n 项和是 Sn，公差 d 不等于零，若 a2，a3，a6成等比数列，则( )A．a1d>0B．S2＝0C．dS3>0D．a1a2>0[解析]由 a2，a3，a6成等比数列，可得 a＝a2a6，可得(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，即 2a1d＋d2＝0， 公差 d 不等于零，∴a1d<0，S2＝2a1＋d＝0，a1a2＝－<0.∴dS3＝d(3a1＋3d)＝d2>0.[答案]BC3．已知各项都是正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10＝10，S30＝70，则 S40＝( )A．150B．140C．130D．120[解析]由等比数列的性质，得：S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，解得 S20＝30(负值舍去)．因为＝＝2，所以 S40－S30＝2(S30－S20)＝80，S40＝S30＋80＝150.[答案]A4．数列{an}中，已知对任意 n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则 a＋a＋a＋…＋a等于( )A．(3n－1)2B.(9n－1)C．9n－1D.(3n－1)[解析] a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2 时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，∴当 n≥2 时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，又 n＝1 时，a1＝2 满足上式，∴an＝2·3n－1，故数列{a}是首项为 4，公比为 9 的等比数列．因此 a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)．[答案]B5．已知等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前 n 项和，且满足 2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则 S4＝________．[解析]由题意得，2(a1＋a2＋a3)＝8a1＋3a2，所以 2a3－a2－6a1＝0.设{an}的公比为 q(q>0)，则 2a1q2－a1q－6a1＝0，即 2q2－q－6＝0，解得 q＝2 或 q＝－(舍去)．因为 a4＝16，所以 a1＝2，则 S4＝＝30.[答案]306．已知数列{an}为正项的递减等比数列，a1＋a3＝，a2＝，记数列的前 n 项和为 Sn，则使不等式 2021·>1 成立的最大正整数 n 的值为________．[解析]设数列{an}的公比为 q，由数列{an}为正项的递减等比数列，a1＋a3＝，a2＝，即＋a2q＝＋＝.解得 q＝，q＝3(舍)，∴a1＝2，an＝2·.Sn＝＋＋＋…＋＝2×＝3，∴不等式 2021>1，即 2021×>1，3n<2021.此时 n 的最大正整数为 6.[答案]67．设数列...
