导函数的“隐零点”问题知 识 拓 展利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关，而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系，按导函数零点能否求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”.对于隐零点问题，由于涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧，对学生综合能力的要求较高，成为考查的难点.题 型 突 破题型一 函数最值中的“隐零点”【例 1】 设函数 f(x)＝e2x－aln x.(a 为大于零的常数)，已知 f′(x)＝0 有唯一零点，求f(x)的最小值.解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x＞0).当 a＞0 时，设 u(x)＝e2x，v(x)＝－，因为 u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以 f′(x)在(0，＋∞)上单调递增.设 f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为 x0，当 x∈(0，x0)时，f′(x)＜0；当 x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0.故 f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当 x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为 f(x0).由于 2e2x0－＝0，所以 f(x0)＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln.故当 a＞0 时，f(x)≥2a＋aln.故 f(x)的最小值为 2a＋aln.【训练 1】 (1)讨论函数 f(x)＝ex的单调性，并证明当 x>0 时，(x－2)ex＋x＋2>0；(2)证明：当 a∈[0，1)时，函数 g(x)＝(x>0)有最小值.设 g(x)的最小值为 h(a)，求函数 h(a)的值域.(1)解 f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞).f′(x)＝＝≥0，当且仅当 x＝0 时，f′(x)＝0，所以 f(x)在(－∞，－2)，(－2，＋∞)单调递增.因此当 x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝－1.1所以(x－2)ex>－(x＋2)，即(x－2)ex＋x＋2>0.(2)证明 g′(x)＝＝(f(x)＋a).由(1)知，f(x)＋a 单调递增，对任意 a∈[0，1)，f(0)＋a＝a－1<0，f(2)＋a＝a≥0.因此，存在唯一 xa∈( 0，2]，使得 f(xa)＋a＝0，即 g′(xa)＝0.当 0xa时，f(x)＋a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.因此 g(x)在 x＝xa处取得最小值，最小值为 g(xa)＝＝＝.于是 h(a)＝，由′＝>0，得 y＝单调递增.所以，由 xa∈(0，2]，得＝
