第 5 讲 函数、导数与方程1．设 a>1，函数 f(x)＝(1＋x2)ex－a.(1)求 f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．解：(1)f(x)的定义域为 R，由导数公式知 f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(x＋1)2ex，x∈R.因为对任意 x∈R，都有 f′(x)≥0，所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．(2)证明：由(1)知 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，且 f(0)＝1－a<0，f()＝ae－a＝a(e－1)．因为 a>1，所以 a－1>0，所以>0，所以 e>1，所以 e－1>0，故 f()>0，所以存在 x0∈(0，)使得 f(x0)＝0.又因为 f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．2．(2019·武昌区调研考试)已知函数 f(x)＝aex－aex－1，g(x)＝－x3－x2＋6x，其中a>0.(1)若曲线 y＝f(x)经过坐标原点，求该曲线在原点处的切线方程；(2)若 f(x)＝g(x)＋m 在[0，＋∞)上有解，求实数 m 的取值范围．解：(1)因为 f(0)＝a－1＝0，所以 a＝1，此时 f(x)＝ex－ex－1.所以 f′(x)＝ex－e，f′(0)＝1－e.所以曲线 y＝f(x)在原点处的切线方程为 y＝(1－e)x.(2)因为 f(x)＝aex－aex－1，所以 f′(x)＝aex－ae＝a(ex－e)．当 x>1 时，f′(x)>0；当 01 时，h′(x)<0；当 00.所以 h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以当 x∈[0，＋∞)时，h(x)max＝h(1)＝＋m.要使 f(x)＝g(x)＋m 在[0，＋∞)上有解，则＋m≥－1，即 m≥－.所以实数 m 的取值范围为[－，＋∞)．3．已知函数 f(x)＝(a，b∈R，a≠0)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为－a.(1)求 f(x)的单调区间；(2)讨论方程 f(x)＝1 根的个数．解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，由 f′(1)＝a－b＝－a，得 b＝2a，所以 f(x)＝，f′(x)＝－.当 a>0 时，由 f′(x)>0，得 0.当 a<0 时，由 f′(x)>0，得 x>；由 f′(x)<0，得 00 时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；当 a<0 时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)f(x)＝1，即方程＝1，即方程＝，构造函数 h(x)＝，则 h′(x)＝－，令 h′(x)＝0，得 x＝，...
