第 20 讲 导数与函数的零点问题1．若函数 f(x)＝ax3－bx＋4，当 x＝2 时，函数 f(x)有极值－.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若函数 f(x)＝k 有 3 个解，求实数 k 的取值范围．解：(1)对函数 f(x)求导得 f′(x)＝3ax2－b，由题意知解得所以 f(x)＝x3－4x＋4.(2)由(1)可得 f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令 f′(x)＝0，得 x＝2 或 x＝－2.当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)－因此，当 x＝－2 时，f(x)有极大值；当 x＝2 时，f(x)有极小值－.所以函数 f(x)＝x3－4x＋4 的图象大致如图所示．因为方程 f(x)＝k 的解的个数即为 y＝k 与 y＝f(x)的交点个数．所以实数 k 的取值范围是.2．已知函数 f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中 e 是自然对数的底数，e＝2.718 28….(1)证明：函数 h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1,2)上有零点；(2)求方程 f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．解：(1)证明：由 h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x 得，h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－>0，且 h(x)在区间(1,2)上是连续的，所以函数 h(x)在区间(1,2)上有零点．(2)由(1)得 h(x)＝ex－1－－x.由 g(x)＝＋x 知，x∈[0，＋∞)，而 h(0)＝0，则 x＝0 为 h(x)的一个零点，而 h(x)在(1,2)内有零点，因此 h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点．因为 h′(x)＝ex－x－－1，记 φ(x)＝ex－x－－1，则 φ′(x)＝ex＋x－.当 x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此 φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则 φ(x)在(0，＋∞)上至多只有一个零点，即 h(x)在[0，＋∞)上至多有两个零点．所以方程 f(x)＝g(x)的根的个数为 2.3．已知函数 f(x)＝aex＋x2－bx(a，b∈R)．(1)设 a＝－1，若函数 f(x)在 R 上是单调递减函数，求 b 的取值范围；(2)设 b＝0，若函数 f(x)在 R 上有且只有一个零点，求 a 的取值范围．解：(1)当 a＝－1 时，f(x)＝－ex＋x2－bx，∴f′(x)＝－ex＋2x－b，由题意知，f′(x)＝－ex＋2x－b≤0 对 x∈R 恒成立．由－ex＋2x－b≤0，得 b≥－ex＋2x.令 F(x)＝－ex＋2x，则 F′(x)＝－ex＋2，由 F′(x)＝0，得 x＝ln 2.当 x＜ln 2 时，F′(x)＞0，F(x)单调递增，当 x＞ln 2 时，F′(x)＜0，F(x)单调递减，从而当 x＝ln 2 时，F(x)取得最大值 2ln 2－2，∴b≥2ln 2－2，故 b 的取值范围为[2ln 2－2，＋∞)．(2)当 b＝0 时，f(x)＝aex...
