高考立体几何试题的向量解法于真灵 用向量处理立体几何的空间问题，为立体几何的学习提供了简洁的语言系统和代数化的推理方式，减少了琐碎的解题技巧，体现了现代数学的思想方法。本文用向量解答近年来的高考立体几何题。 例 1. （1997 年全国高考试题） 在正方体中，E、F 分别是、CD 的中点 （I）证明； （II）求 AE 与所成角； （III）证明面 AED⊥面 A1FD。图 1 解 ： （ I ） 证 明 如 图 1 所 示 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 设 正 方 体 的 棱 长 为 2 ， 则A（2，0，0），D（0，0，0），D1 （0 ，0 ，2），A1（2，0，2），F（0，1，0），E（2，2，1）。 因为 所以，即 （II） 又 由 所以，即 （III）因为，，， 则平面 ADE 的向量 平面的法向量 由于 所以，即平面 例 2. （1998 年全国高考试题）如图 2 所示，已知斜三棱柱的侧面与底面 ABC 垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=，且，。用心 爱心 专心 115 号编辑 1 图 2 （I）求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角的大小； （II）求侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面角的大小； （III）求顶点 C 到侧面 A1ABB1的距离。 解：（I）如图 2 所示，建立空间直角坐标系，易知 z 轴在平面 ACC1A1内，过 A1、B 分别作 AC 的垂线，垂足为 D、E，在 Rt△AA1C 中，。 在 Rt△ABC 中，， 所以有 A（0，0，0），，C， 底面 ABC 的法向量 设向量与 的夹角为 α 则 即 α=45°，因而侧棱 AA1与底面 ABC 所成的角为。 （II）侧面 AA1BB1的法向量 设侧面与底面 ABC 所成的角为 β，则 即 β=60°，因而侧面 AA1BB1与底面 ABC 所成的角为 60°。 （III）略 例 3. （1998 年上海市高考试题）直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的高为 6，底面是边长为4，∠DAB=60°的菱形，AC 与 BD 相交于 O，A1C1 与 B1D1相交于 O1，E 是 O1A 的中点。 （1）求二面角的大小（用反三角函数表示）； （2）分别以射线 OA、OB、OO1为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，求点 B1、D1、E的坐标，并求异面直线 OB1与 D1E 所成角的大小（用反三角函数表示）用心 爱心 专心 115 号编辑 2 图 3解：（1）如图 3 所示，建立空间直角坐标系：知，，，，则平面 O1BC 的法向量 而平面 BCD 的法向量 设向量 与的夹角为 ，则 所以 即二面角的大小为 （2...
