高考必考题突破讲座(四)立体几何中的直线、平面的位置关系[解密考纲]立体几何问题是高考的重要内容，每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式．考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等，难度中等．1．(2017·江苏卷)如图，在三棱锥 A－BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面BCD，点 E，F(E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面 ABC；(2)AD⊥AC.解析 (1)在平面 ABD 内，因为 AB⊥AD，EF⊥AD，所以 EF∥AB.又因为 EF⊄平面 ABC，AB⊂平面 ABC，所以 EF∥平面 ABC.(2)因为平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，BC⊂平面 BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面 ABD.因为 AD⊂平面 ABD，所以 BC⊥AD.又 AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面 ABC，BC⊂平面 ABC，所以 AD⊥平面 ABC.又因为 AC⊂平面 ABC，所以 AD⊥AC.2．如图，已知△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直，且 AB＝BC＝BD＝1，∠ABC＝∠DBC＝120°.(1)在直线 BC 上求作一点 O，使 BC⊥平面 ADO，写出作法并说明理由；(2)求三棱锥 A－BCD 的体积．解析 (1)作 AO⊥BC，交 CB 延长线于点 O，连接 DO，AO，则 BC⊥平面 ADO.证明如下： AB＝DB，OB＝OB，∠ABO＝∠DBO，∴△ABO≌△DBO，则∠AOB＝∠DOB＝90°，即 OD⊥BC.又 AO∩OD＝O，AO⊂平面 ADO，OD⊂平面 ADO，∴BC⊥平面 AOD.(2) △ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直，平面 ABC∩平面 DBC＝BC，AO⊂平面 ABC，∴AO⊥平面 BCD，即 AO 是三棱锥 A－BCD 底面 BCD 上的高，在 Rt△AOB 中，AB＝1，∠ABO＝60°，∴AO＝ABsin 60°＝.又 S△BCD＝BC·BD·sin∠CBD＝，∴V 三棱锥 A－BCD＝·S△BCD·AO＝××＝.3．如图，直角三角形 ABC 中，A＝60°，沿斜边 AC 上的高 BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置，点 E 在线段 CD 上．(1)求证：PE⊥BD；(2)过点 D 作 DM⊥BC 交 BC 于点 M，点 N 为 PB 的中点，若 PE∥平面 DMN，求的值．解析 (1)证明： BD⊥PD，BD⊥CD，且 PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面 PCD，∴BD⊥平面PCD.又 PE⊂平面 PCD，∴BD⊥PE.(2)由题意，得 BM＝BC，取 BC 的中点 F，则 PF∥MN.又 PF⊄平面 DMN，MN⊂平面 DMN，∴PF∥平面 DMN.又 PE∥平面 DMN，PE∩PF＝P...
